Jacobiaan

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De Jacobiaan van een functie is de matrix van de eerste-orde afgeleiden van die functie. Zij f een functie

$f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m,$

(dus een functie die n invoerwaarden nodig heeft en m waarden teruggeeft), met

$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)=(f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n),\ldots,(f_m(x_1, x_2, \ldots, x_n)),$

waarvan de eerste orde afgeleiden bestaan.

Dan is de Jacobiaan J(f) van f als volgt gedefinieerd:

$J(f) = \begin{bmatrix} \frac{\part f_1}{\part x_1} & \frac{\part f_1}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_1}{\part x_n} \\ \frac{\part f_2}{\part x_1} & \frac{\part f_2}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_2}{\part x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\part f_m}{\part x_1} & \frac{\part f_m}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_m}{\part x_n} \end{bmatrix} = \frac{\part \left(f_1, \cdots , f_m \right)}{\part \left(x_1, \cdots, x_n \right)}$

Wanneer m = 1 (dus wanneer de functie maar één waarde teruggeeft), spreekt men ook wel van de gradiënt van f (notatie: $\nabla f$ ). De Jacobiaan wordt in het algemeen gebruikt om te controleren of een stelsel vergelijkingen van de vorm $f(\vec{x})=\vec{y}$ een oplossing heeft in $\vec{x}$ . Wanneer $J(f)(\vec{x})$ niet singulair is, dus een determinant heeft die ongelijk is aan 0, zullen er in het algemeen oplossingen zijn en dus is f ook inverteerbaar in $\vec{x}$ .

De naam 'Jacobiaan' verwijst naar de Duitse wiskundige Carl Jacobi die in zijn loopbaan heeft bijgedragen aan de ontwikkeling van het begrip 'determinant'.

Categorie: Lineaire algebra

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Jacobiaan

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen