Jacobin matriisi

Wikipedia

Jacobin matriisi on matriisi, joka kuvaa muunnoksen kahden avaruuden välillä. Matriisi on nimetty saksalaisen matemaatikon Carl Gustav Jacobin mukaan.

Koordinaatistomuunnoksen lisäksi Jacobin matriisin merkitys tulee siitä, että se kuvaa annetun funktion parasta lineaarista approksimaatiota annetussa pisteessä, mistä syystä se esiintyy monissa numeerisen matematiikan sovelluksissa. Jacobin matriisilla on myös suuri merkitys dynaamisten systeemien tutkimuksessa, sillä sen avulla voidaan tutkia systeemin dynamiikkaa attraktorin läheisyydessä.

Muunnoksen F : Rⁿ → R^m eli kuvauksen $n$ -ulotteisesta avaruudesta, jonka koordinaatit ovat $x i$ $m$ -ulotteiseen avaruuteen, jonka koordinaatit ovat $y i$ kuvaa Jacobin matriisi

$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

eli kuvausta F vastaa matriisimuodossa esitys

$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{bmatrix} = J \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$ .

Huomattakoon erityisesti, ettei Jacobin matriisin tarvitse olla neliömatriisi. Jacobin matriisi merkitään usein kompaktimpaan muotoon

$J = \frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}$ .

Jacobin matriisin determinanttia kutsutaan Jacobin (funktionaali)determinantiksi. Niissä pisteissä, joissa muunnoksen F determinantti eroaa nollasta, kuvaus on kääntyvä eli käänteiskuvaus F^-1 : R^m → Rⁿ on olemassa. Dynamiikkaa tutkittaessa on yleensä kiinnostavaa tietää, eroaako Jacobin determinantti ykkösestä, sillä se kertoo, säilyttääkö systeemi faasiavaruuden tilavuuden.

[muokkaa] Esimerkki Jacobin matriisin laskemisesta

Karteesisen koordinaatiston ja napakoordinaatiston välillä on yhteys

$x = r \cos\theta\,$

$y = r \sin\theta\,$ .

Jacobin matriisin laskemiseksi on laskettava vastaavat osittaisderivaatat

$\frac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta$

$\frac{\partial y}{\partial r} = \sin \theta$

$\frac{\partial x}{\partial \theta} = r \sin \theta$

$\frac{\partial y}{\partial \theta} = - r \cos \theta$

Näin siis muunnoksen napakoordinaatistosta karteesiseen koordinaatistoon kuvaa matriisi

$J = \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix}$

ja muunnoksen karteesisesta napakoordinaatistoon kuvaa luonnollisesti tämän käänteismatriisi

$J^{-1} = \begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\ -\frac{\sin\theta}{r} & \frac{\cos\theta}{r}\end{bmatrix}$ .

[muokkaa] Ominaisuuksia

Kenties tärkein ominaisuus Jacobin matriisilla liitty Jacobin determinantin laskemiseen, mikä puolestaan liittyy integraalien muuttujien vaihtoon. Nimittäin jos F : Rⁿ → Rⁿ on jatkuvasti derivoituva ja injektiivinen jossain avoimessa joukossa $U$ , joka on Rⁿ osajoukko ja lisäksi kaikkialla täällä joukossa F:n Jacobin matriisi on kääntyvä, niin jos g : Rⁿ → R on jatkuva joukossa $U$ , niin

$\int_{F(U)} g(F(x))\, dx_1dx_2dx_3...dx_n=\int_{U} g(F(x))*|J(x)|\, dx_1dx_2dx_3...dx_n$

Tässä J on F:n jakobin matriisi pisteessä x. Sen determinanttia kutsutaan myös Jakobin determinantiksi.

Yllä esitetyssä esimerkissä on oikeastaan laskettu Jakobin matriisi muuttujanvaihdolle, joka muuttaa polaarikordinaatit karteesisiksi. Tälle oikeastaan pätee tämä lause, mikä helpottaa useiden kaksiulotteisten integraalien laskemista,