Hessin matriisi

Wikipedia

Hessin matriisi, joskus myös Hessen matriisi, on olennaisesti reaaliarvoisen funktion toinen derivaatta. Yhden muuttujan funtiolle asia on yksinkertainen ja Hessin matriisi onkin oikeastaan vain skalaariarvoinen funktio. Jos funktio onkin useamman muuttujan kuvaus, niin Hessin matriisi saadaan kaavasta, kun f : Rⁿ → R ja f:llä on toisen kertaluvun derivaatat:

$\nabla ^2 f = H = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1 \partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n \partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n \partial x_n} \end{bmatrix}$

Hessin matriisin determinantti on monella tapaa kiinnostava. Sen merkin avulla voidaan tarkastella f:n lokaalien ääriarvojen luonnetta. Jos determinantti on positiivinen, niin H on positiivisesti definiitti ja silloin f:n ääriarvo onkin lokaali minimi. Vastaavasti, jos determinantti on negatiivinen, niin H on negatiivisesti definiitti ja silloin f:n ääriarvo onkin lokaali maksimi.

Huomionarvoista on, että siinä tilanteessa, että funktio f:llä on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatat, niin Hessin matriisi on symmetrinen. Toisaalta Hessin matriisi on aina neliömatriisi. Kolmanneksi jos f:llä on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatan, niin on olemassa toisen asteen numeerinen approksimaatio:

$f(x_0 + h) = f(x_0) + \nabla f \cdot h + h^THh + \epsilon(h) \cdot ||h||^2$

Tässä pätee vielä, että $ε(h)$ lähenee nollaa h:n lähetessä nollaa. Siis määritelmän mukaan arvio on f:n toisen asteen approksimaatio. Tämän approksimaation avulla voimme todistaa lokaaleja ääriarvoja koskevia lauseita