Hesse-mátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

$\begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$

n változós függvény Hesse-mátrixa

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben Hesse-féle mátrixnak egy többváltozós valós függvény másodrendű parciális deriváltjaiból alkotott négyzetes mátrixát nevezzük.

Legyen

$f(x_1, x_2, \dots, x_n),\,\!$

n-változós valós függvény. Ha mindegyik másodrendű parciális deriváltja létezik az f értelmezés tartományának egy x belső pontjában, akkor a Hesse-mátrix mátrixelemei a

$[\mathbf{H}^f(x)]_{ij} = \partial^2_{ij} f(x)\,\!$

számok, ahol x = (x₁, x₂, ..., x_n), i, j tetszőleges számok 1-től n-ig, ∂_ij pedig a másodrendű parciális deriválás jele. ^[1]

A Hesse-féle mátrix determinánsa a Hesse-determináns. A Hesse-determináns elnevezést először James Joseph Sylvester használta, Ludwig Otto Hesse tiszteletére, aki először vezette be és „függvénydeterminánsnak” nevezte.^[2]

Tartalomjegyzék

1 Hesse-mátrix szimmetrikussága
2 A Hesse-mátrix mint a deriválttenzor mátrixa
3 Stacionárius pont és szélsőérték létezése
- 3.1 Kétváltozós függvény szélsőértékei
- 3.2 Példák
4 Implicit módon megadott görbe szinguláris pontjai
5 Feltételes szélsőértékprobléma Hesse-mátrixa
6 Lábjegyzetek
7 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Hesse-mátrix szimmetrikussága

A Hesse-mátrix főátlóján kívüli elemei a vegyes másodrendű parciális deriváltak. Young tétele értelmében ha az f függvény az u pont egy környezetében mindenütt kétszer parciálisan differenciálható és az u pontban a második deriváltak folytonosak, akkor a parciális deriválás nem függ a deriválás sorrendjétől, azaz a vegyes deriváltak egyenlők. Ez pontosan azt jelenti, hogy a Hesse-mátrix szimmetrikus. Például kétváltozós f függvénynél (u-ban f kétszer folytonosan differenciálható)

$[\mathbf{H}^f(u)]_{21}=\frac {\partial^2 f(u)}{\partial y\partial x} = \frac {\partial^2 f(u)}{\partial x\partial y} =[\mathbf{H}^f(u)]_{12}$

[szerkesztés] A Hesse-mátrix mint a deriválttenzor mátrixa

Ha az f függvény az U halmazon értelmezett n-változós valós függvény és az U halmazon létezik az f gradiense, és a grad(f) : U $\to$ Rⁿ leképezés totálisan differenciálható az u∈ U pontban, akkor a gradiensfüggvény differenciáljának mátrixa a sztenderd bázisra vonatkozólag éppen a Hesse-mátrix:

$[\mathrm{d\,(grad\,}f)(u)]=\mathbf{H}^f(u)\,$

A d (grad f)(u) tenzor tekinthető úgy, mint az f másodrendű differenciálja az u-ban és teljesül rá, hogy minden x ∈ U-ra :

$f(x)=f(u)+\mathrm{grad}\,f(u)\cdot(x-u)+\frac{1}{2}(x-u)\mathrm{H}^f(u)(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||^2$

ahol ε folytonos u-ban és ott eltűnik.

[szerkesztés] Stacionárius pont és szélsőérték létezése

Ha a többváltozós valós f kétszer folytonosan differenciálható, akkor az értelmezési tartományának u pontját stacionárius pontnak nevezzük, ha

$\mathrm{grad}\,f(u)=0$

ha a Hesse-determináns u-ban nulla, akkor ez degenerált kritikus pont.

A Hesse-mátrix segítségével megfogalmazható a többváltozós valós értékű függvények másodikderivált-próbája. Tegyük fel, hogy az u pontban az f-nek stacionárius pontja és legyen

$Q^f_u(\mathbf{v})=\mathbf{v}\mathrm{H}^f(u)\mathbf{v}\,$

a H^f(u)-hoz asszociált kvadratikus leképezés.

Ha a Q^f_u(v) kifejezés pozitív minden nemnulla v vektorra, azaz ha Q^f_u pozitív definit, akkor f-nek u-ban lokális minimuma van. Ez a tulajdonság Sylvester tétele alapján az jelenti, hogy H^f(u) mátrixának bal felső kvadratikus aldeterminánsai csupa pozitív értékeket felvevő sorozatot alkot:

$\partial_{11}f(u)>0,\quad \underset{\scriptstyle{1=i,j\leq 2}}{\det}[\partial_{ij}f(u)]>0,\quad \dots \quad \det\,\mathrm{H}^f(u)>0$

Ha a Q^f_u(v) kifejezés negatív minden nemnulla v vektorra, azaz ha Q^f_u negatív definit, akkor f-nek u-ban lokális maximuma van. Ekkor az aldeterminánsok előjelváltóak:

$\partial_{11}f(u)<0,\quad \underset{\scriptstyle{1=i,j\leq 2}}{\det}[\partial_{ij}f(u)]>0,\quad \underset{\scriptstyle{1=i,j\leq 3}}{\det}[\partial_{ij}f(u)]<0,\quad \dots \quad \det\,\mathrm{H}^f(u)\underset{>}{<}0$

Indefinit esetben vagyis amikor Q felvesz pozitív és negatív értékeket is, a próba állítása szerint biztosan nincs szélsőérték. Szemidefinit esetben, amikor van olyan nemnulla v, amire Q^f_u(v)=0, a próba nem jár sikerrel.^[3]

[szerkesztés] Kétváltozós függvény szélsőértékei

Speciálisan kétváltozós függvények esetén a próba konkrétan a következők ellenőrzését jelenti:

ha det H^f(u) > 0 és ∂₁₁f(u) > 0, akkor u-ban lokális minimum van,
ha det H^f(u) > 0 és ∂₁₁f(u) < 0, akkor u-ban lokális maximum van,
ha det H^f(u) < 0, akkor u nincs lokális szélsőérték (valamilyen típusú nyeregpontról beszélünk)
ha det H^f(u) = 0, akkor a próba nem járt sikerrel.^[4]

Megjegyzés. Ha a Hesse-mátrix elemei

$\mathrm{H}^{f}(u)=\begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix}$

akkor a Hesse-determinánsa D = AC - B² és így olyan eset nincs, hogy ∂₁₁f(u) = 0 lenne, miközben D > 0.

[szerkesztés] Példák

Az f(x,y) = x2 + xy + y2 leképezés szélsőértékének keresése esetén célravezető a Hesse-féle determináns vizsgálata.

Az f(x,y) = x² + xy + y² leképezés szélsőértékének keresése esetén célravezető a Hesse-féle determináns vizsgálata.

[szerkesztés] Definit eset

Legyen

$f(x,y)=x^2+xy+y^2\,$

Ekkor grad f = ( 2x + y , 2y + x ), vagyis az elsőderivált próba szerint a

2x + y = 0

2y + x = 0

egyenletrendszer megoldásai közül kerülhetnek ki a szélsőértékek. A megoldás: (x,y) = (0,0).

A második parciális deriváltakat kiszámítva, a Hesse-mátrix minden pontban

$\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

azaz det H^f = 4 - 1 = 3 > 0 és ∂₁₁f = 2 > 0 miatt (0,0) szélsőértékhely és minimumpont.

[szerkesztés] Indefinit eset

Az f(x,y) = x2 + xy - y2 leképezés szélsőértékének keresése esetén célravezet a Hesse-féle determináns vizsgálata.

Az f(x,y) = x² + xy - y² leképezés szélsőértékének keresése esetén célravezet a Hesse-féle determináns vizsgálata.

Legyen

$f(x,y)=x^2+xy-y^2\,$

Ekkor grad f = ( 2x + y , -2y + x ), melynek zérushelye a (0,0) pont.

A Hesse-mátrix minden pontban

$\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

innen det H^f = -4 - 1 = -5 < 0, így a próba megint sikeres, éspedig állíthatjuk, hogy (0,0) biztosan nem szélsőértékhely. Ebben a pontban a függvények úgy nevezett nemdegenerált nyeregpontja van. Egy stacionárius pont nem degenerált, ha abban a pontban a Hesse-féle detremináns nem nulla értékű.

[szerkesztés] Szemidefinit eset

Az f(x,y) = x2 + 2xy + y2 leképezés esetén a Hesse-féle determináns vizsgálata nem vezet célra.

Az f(x,y) = x² + 2xy + y² leképezés esetén a Hesse-féle determináns vizsgálata nem vezet célra.

Legyen

$f(x,y)=x^2+2xy+y^2\,$

Ekkor grad f = ( 2x + 2y , 2y + 2x ), így a gradiens zérushelye minden olyan (x,y) pont, amire x = - y. Ezekben a pontokban a Hesse-mátrix:

$\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

azaz det H^f = 4 - 4 = 0, azaz a próba nem járt sikerrel. De tudjuk, hogy

$f(x,y)=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\,$

ami pontosan akkor minimális, ha x + y = 0, és ezeken a helyeken valóban szélsőértéke van mert itt a függvény a lehető legkisebb, azaz 0 értéket veszi föl.

[szerkesztés] Implicit módon megadott görbe szinguláris pontjai

Azt mondjuk, hogy az

$F(x,y)=0\,$

egyenlettek megadott görbének szinguláris pontja az ( $x 0$ , $y 0$ ) pont, ha ebben a pontban az F függvénynek nincs intervallumon értelmezett differenciálható implicit függvénye egyik változóra vonatkozólag sem (azaz egyik változó sem fejezhető ki lokálisan a másikkal). Szinguláris pont szükséges feltétele az

$F(x_0,y_0)=0,\qquad \partial_1F(x_0,y_0)=0,\qquad \partial _2F(x_0,y_0)=0\qquad$

egyenletek egyidejű fennállása.

Ha F kétszer folytonosan differenciálható függvény és az origóra a fenti egyenlőségek teljesülnek, akkor az F függvény (0,0)-beli Hesse-determinánsa vizsgálatával a görbe néhány jellegzetes vonására következtethetünk.^[5] Az F-et másodrenden közelítő kvadratikus leképezés számára a D = AC - B² Hesse-determináns ellentettje egyfajta diszkriminánsként működik. Három eset lehet. D < 0 esetén a kvadratikus leképezéshez nincs olyan irány, amely mentén az mindenhol nulla lenne. D = 0 esetén egy ilyen irány van, D > 0 esetén két különböző ilyen irány van.

Ha det H^F(0,0) > 0, akkor (0,0) izolált pontja a görbének (pl.: (x² + y²)(1 – y) = 0 az origóban). Ez azzal indokolható, hogy ekkor az F leképezésnek (0,0)-ban szigorú lokális szélsőértéke van, így annak egy környezetében az F függvény az (0,0)-t kivéve sehol sem nulla. Így az (0,0)-beli implicit függvény egyedül az egyelemű {x₀} halmazon értelmezett y (x₀) = y₀ függvény.
Ha det H^F(0,0) < 0, akkor (0,0)-ban a görbe átmetsző (pl.: az x³ + y³ – 3xy = 0 Descartes-féle levélnél). Hiszen ekkor a (0,0) pont nyeregpont, így a felület biztosan legalább két különböző irányban átmetszi az [xy] síkot.
Ha det H^F(0,0) = 0, akkor a görbe számos módon viselkedhet; az egyik például, hogy saját magával érintkezik első rendben, azaz két ágának ugyanaz az érintőegyenese (pl.: x² – y⁴ = 0). De átmetsző is lehet, például az x²y² = 0 egyenletnél.

[szerkesztés] Feltételes szélsőértékprobléma Hesse-mátrixa

Ha az

$f(x_1, x_2, \dots, x_n),$

függvény

$g(x_1, x_2, \dots, x_n) = c,$

korlátozásnak alávetett megszorításának szélsőértékeit keressük, akkor ezt az

$f+\lambda(g-c)\,$

függvény szabad szélsőértékeinél kell keresnünk. Ha elégségességi vizsgálatokat is szándékozunk végezni, akkor felírhatjuk az f + λg feladat Hesse-mátrixát, a λ új változóval kiegészítve:

$H^{f+\lambda g}(x_1, x_2, \dots, x_n,\lambda) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} &\frac{\partial g}{\partial x_1} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} & \frac{\partial g}{\partial x_2} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}& \frac{\partial g}{\partial x_n}\\ \\ \frac{\partial g}{\partial x_1} & \frac{\partial g}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial g}{\partial x_n} & 0 \end{bmatrix}$

Világos, hogy ez a mátrix soha sem lesz definit, mert a (0,0,...,1) nemnulla vektoron a z $\mapsto$ z'Hz leképezés a 0-t veszi föl. Ám ha már az n × n-es bal felső blokk definit, akkor már kijelenthetjük, hogy szigorú, lokális szélsőértékről beszélhetünk (pozitív definit esetben minimumról, negatív esetben maximumról).

Ez amiatt van, hogy a z'Hz kvadratikus leképezést a feltételi egyenletnek megfelelő alakban kell felírni, azaz ha ( $z 1$ , $z 2$ ,..., $z n$ ) tetszőleges vektorok, akkor a

$z'H^fz\,$

kvadratikus alakot a feltételi egyenlet differenciálásával addódó

$\frac{\partial g}{\partial x_1}z_1+\frac{\partial g}{\partial x_2}z_2+\dots+\frac{\partial g}{\partial x_n}z_n=0$

egyenletben szereplő valamely alkalmas változót kell kifejezni a többi függvényében és az így adódó z'Hz kvadratikus leképezést kell tovább vizsgálni.

[szerkesztés] Lábjegyzetek

^ Serge Lang, Undergraduate calculus p 486, Springer 2^nd ed 1997
^ Jeff Miller & all Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
^ Kristóf János, Az analízis elemei. II. ELTE jegyzet. 175. o. pdf
^ Balázs Márton – Kolumbán József,Matematikai analízis 205. o., Ed. Dacia, Cluj-Napoca 1979.
^ A. F. Bermant, Matematikai analízis II., Tankönyvkiadó, Bp. 1951., 93. o.,

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Hessian matrix a PlanetMath lapon

Kategória: Differenciálszámítás

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Hesse-mátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Hesse-mátrix szimmetrikussága

[szerkesztés] A Hesse-mátrix mint a deriválttenzor mátrixa

[szerkesztés] Stacionárius pont és szélsőérték létezése

[szerkesztés] Kétváltozós függvény szélsőértékei

[szerkesztés] Példák

[szerkesztés] Definit eset

[szerkesztés] Indefinit eset

[szerkesztés] Szemidefinit eset

[szerkesztés] Implicit módon megadott görbe szinguláris pontjai

[szerkesztés] Feltételes szélsőértékprobléma Hesse-mátrixa

[szerkesztés] Lábjegyzetek

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Views

Navigáció

részvétel

Keresés

Más nyelveken