海森矩阵

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在数学中，海森矩阵是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：

$f(x_1, x_2, \dots, x_n),$

如果f所有的二阶导数都存在，那么f 的海森矩阵即：

H (f) i j (x) = D i D j f (x)

其中 $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ ，即

$H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$

（也有人把海森定义为以上矩阵的行列式）海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。

[编辑] 混合偏导数和海森矩阵的对称性

海森矩阵的混合偏导数是海森矩阵主对角线上的元素。假如他们是连续的，那么求导顺序没有区别，即

$\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) = \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right)$

上式也可写为

$f_{xy} = f_{yx} \,$

在正式写法中，如果f函数在区域D内连续并处处存在二阶导数，那么f的海森矩阵在D区域内为对称矩阵。

[编辑] 在 R^2→R 的函數的應用

給定二階導數連續的函數 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ ，海森矩陣的行列式，可用於分辨 $f$ 的臨界點是屬於鞍點還是極值。

對於 $f$ 的臨界點 $(x 0, y 0)$ 一點，有 $\frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x} = \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y} = 0$ ，然而憑一階導數不能判斷它是鞍點、局部極大點還是局部極小點。海森矩陣可能解答這個問題。

$H = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{vmatrix} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x})^2$

H > 0 ：若 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0$ ，則 $(x 0, y 0)$ 是局部極小點；若 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0$ ，則 $(x 0, y 0)$ 是局部極大點。
H < 0 ： $(x 0, y 0)$ 是鞍點。
H = 0 ：二階導數無法判斷該臨界點的性質，得從更高階的導數以泰勒公式考慮。