Гессиан функции
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Гессиан функции — симметрическая квадратичная форма описывющая поведение функции во втором порядке.
Для функции f дважды дифференцируемой в точке
или
где (или ) и f(p) задана на n-мерном действительном пространстве (или комплексном пространстве ) с координатами (или ). В обоих случаях гессиан — квадратичная форма, заданная на касательном пространстве, не меняющаяся при линейных преобразованиях переменных.
Содержание |
[править] Матрица Гессе
Матрица этой квадратичной формы образована вторыми частными производными функции. Если все производные существуют, то
Определитель этой матрицы называется определитель Гессе или также Гессианом.
Матрицы Гессе используются в задачах оптимизации в методе Ньютона. Полное вычисление матрицы Гессе может быть затруднительно, поэтому были разработаны квази-ньютоновы алгоритмы, основанные на приближенных выражениях для матрицы Гессе. Наиболее известный такой алгоритм — BFGS (англ.).
[править] Симметрия Гессиана
Смешанные производные функции f — это элементы матрицы Гессе, стоящие не на главной диагонали. Если они непрерывны, то порядок дифференцирования не важен (теорема Клеро), например
Это можно также записать как
Формально, если вторые частные производные f — непрерывные в области D функции, то матрица Гессе симметрична на D.
[править] Критические точки функции
Если градиент f (её векторная производная) равен нулю в некоторой точке x, то эта точка называется критической. Достаточные условиея существования экстремума в этой точке является знакоопределённость Гессиана f, а именно:
- если Гессиан положительно определён и не вырожден, то x — точка локального минимума функции f;
- если Гессиан отрицательно определён и не вырожден, то x — точка локального максимума функции f;
- если Гессиан принимает как положительные, так и отрицательные значения, то x — седловая точка функции f;
[править] Вариации и обобщения
Если f-векторнозначная функция, то есть
то её вторые частные производные образуют не матрицу, а тензор ранга 3.
[править] История
Понятие введено Гессе (1844) который использовал другое название. Термин «Гессиан» был введён Сильвестром.
[править] См. также
[править] Ссылки
- Кудрявцев Л.Д «Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчиления функций многих переменных. Гармонический анализ», ФИЗМАТЛИТ, 2002, — 424 с. — ISBN 5-9221-0185-4
Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |