Квадратичная форма

Квадратичной формой называется функция $B (x) = A (x, x)$ из линейного пространства $L$ над произвольным полем $F$ характеристики не 2 в поле $F$ , которая получается из билинейной формы $A (x, y)$ при $x = y$ .

При фиксированном базисе $e_1,\ldots,e_n$ в $L$ квадратичная форма имеет вид

$A(x,x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x^i x^j=a_{ij}x^i x^j$ (по соглашению Эйнштейна),

где $x=x^1 e_1+x^2 e_2+\cdots+x^n e_n=x^i e_i$ , а $a i j = a j i$ .

Матрицу $(a i j)$ называют матрицей квадратичной формы в данном базисе.

[править] Свойства

Симметричную билинейную форму $A (x, y)$ , называют полярной квадратичной форме $A (x, x)$ . Матрица билинейной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе - вырожденной.

Квадратичная форма A(x,x) называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого A(x,x) > 0 (A(x,x) < 0). Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
- Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
- Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Квадратичная форма $A (x, x)$ называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Квадратичная форма $A (x, x)$ называется квазизнакоопределённой, если $A(x,x)\geq 0$ $(A(x,x)\leq 0)$ , но форма не является знакоопределённой.

Для определения того, к какому из этих трёх типов относится квадратичная форма, можно воспользоваться критерием Сильвестра.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид: $A (x, x) = λ i (x i) 2$ . Для приведения квадратичной формы к каноническому виду используется метод Лагранжа.