Градиент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Таким образом операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что вектора направлены в горку и тем длиннее, чем круче наклон.

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий) — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку».

Как видно из объяснения, градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует — функцией скалярной.

Формально, для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами $\frac {\partial \varphi} {\partial x}$ , $\frac {\partial \varphi} {\partial y}$ , $\frac {\partial \varphi} {\partial z}$ , где $\varphi$ — некоторая скалярная функция координат x, y, z.

Если $\varphi$ — функция n переменных $x_1,\ldots,x_n$ , то её градиентом будет n-мерный вектор

$\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\right)$ ,

компоненты которого равны частным производным $\varphi$ по всем её аргументам.

Градиент обозначается $gradφ$ или, с использованием оператора набла, $\nabla \varphi$ .

Из определения градиента следует, что:

$\mathrm{grad}\varphi = \nabla \varphi = \frac {\partial \varphi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \varphi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \varphi} {\partial z} \vec e_z$

Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения dx дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, т.е. линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на dx. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

$d f = \frac {\partial f} {\partial x_1} dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2} dx_2 + \frac {\partial f} {\partial x_3} dx_3 + ... = \sum_i \frac {\partial f} {\partial x_i} dx_i = ( \mathbf{grad} f \cdot d\mathbf x )$

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x_i, т.е. от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, т.е. скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, т.е. вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), т.е. вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря - для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

$d f = \sum_i (\partial_i f) dx^i$ или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы, $d f = (\partial_i f) dx^i$

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Содержание

1 Пример
2 В физике
3 Геометрический смысл
4 Связь с производной по направлению
5 Градиент в ортогональных криволинейных координатах
- 5.1 Цилиндрические координаты
- 5.2 Сферические координаты
6 См. также

[править] Пример

Например, градиент функции $φ(x, y, z) = 2 x + 3 y 2 - s i n (z)$ будет представлять собой:

$\nabla \phi = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-cos(z)} \end{pmatrix}$

[править] В физике

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры - увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т.д.. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

[править] Геометрический смысл

Рассмотрим семейство линий уровня функции $φ$ :

$\displaystyle \gamma(h)=\{(x_1,\ldots,x_n)\mid \phi(x_1,\ldots,x_n)=h\}.$

Нетрудно показать, что градиент функции $\varphi$ в точке $\vec{x}^0$ перпенидкулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности $\vec{x}^0$ , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

[править] Связь с производной по направлению

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции $φ$ по направлению $\vec{e}=(e_1,\ldots,e_n)$ равняется скалярному произведению градиента $φ$ на единичный вектор $\vec{e}$ :

$\frac{\partial \phi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \phi}{\partial x_1} e_1+\cdots+\frac{\partial \phi}{\partial x_n} e_n = (\nabla\!\phi,\vec e)$

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

[править] Градиент в ортогональных криволинейных координатах

$\operatorname{grad} U(q_1, q_2, q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec{e}_1 + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec{e}_2 + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec{e}_3$ ,

где H_i - коэффициенты Ламе.

[править] Цилиндрические координаты

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = 1 \end{matrix}$ .

Отсюда:

$\operatorname{grad} U(r, \theta, z) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\vec {e_\theta} + \frac{\partial U}{\partial z}\vec {e_z}$ .

[править] Сферические координаты

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = r\sin{\theta} \end{matrix}$ .

Отсюда:

$\operatorname{grad} U(r, \theta, \phi) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \phi}\vec {e_\phi} + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial U}{\partial\theta }\vec {e_\theta}$ .

[править] См. также

Категории: Векторный анализ | Физика

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Градиент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Пример

[править] В физике

[править] Геометрический смысл

[править] Связь с производной по направлению

[править] Градиент в ортогональных криволинейных координатах

[править] Цилиндрические координаты

[править] Сферические координаты

[править] См. также

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках