گرادیان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

در حسابان بردارها گرادیانِ (به انگلیسی: Gradient) یک میدان نرده‌ای، میدانی برداری‌است که مؤلفه‌های آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهت‌های مختلف نشان می‌دهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است.

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n } \right).$

در حالت خاص برای اسکالر ‎ $f (x, y, z)$ ‎، گرادیان f در دستگاه کارتزین به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\mbox{grad}\,f = {\partial f \over \partial x} \mathbf{i} + {\partial f \over \partial y} \mathbf{j} + {\partial f \over \partial z} \mathbf{k} = \nabla f$

[ویرایش] تعبیر فیزیکی

$\nabla \phi$ برداری است در جهت بیشینه آهنگ تغییر فضایی $φ$ و همواره بر سطح $φ = c t e$ عمود است.

[ویرایش] در دستگاه مختصات مختلف

در دستگاه مختصات دکارتی (کارتزین) ‌گرادیان برابر است با:

$\nabla f(x, y, z) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix}$ .

و در دستگاه مختصات استوانه‌ای:

$\nabla f(\rho, \theta, z) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial \rho}}, {\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix}$

و در دستگاه مختصات کروی عبارت است از:

$\nabla f(r, \theta, \phi) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial r}}, {\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, {\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}} \end{pmatrix}$

[ویرایش] برخی خواص

اگر $f$ و $g$ دواسکالر باشند، آنگاه گرادیان $f g$ برابر است با:

$\nabla(f g) = f \nabla g + g \nabla f$

و اگر $\vec u$ و $\vec v$ دو تابع برداری باشند، گرادیان $\vec u \cdot \vec v$

$\nabla (\vec u \cdot \vec v) = (\vec u \cdot \nabla) \vec v + (\vec v \cdot \nabla) \vec u + \vec u \times (\nabla \times \vec v) + \vec v \times (\nabla \times \vec u)$

[ویرایش] مثال

به عنوان مثال :

گرادیان $f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)$ برابر است با:

$\nabla f= \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-\cos(z)} \end{pmatrix}.$