Gradijent

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Za druga značenja pojma Gradijent pogledajte čvor članak.

Na gornjim slikama, skalarno polje prikazano je crnom i bijelom područijem, s tim da crna odgovara većim vrijednostima, a njegov odgovarajući gradijent je predstavljen plavim strelicama.

U vektorskoj analizi, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje pokazuje u pravcu najvećeg porasta skalarnog polja, te čiji je intenzitet najveća promjena u polju.

Generalizacija gradijenta, za funckije u Benchovom prostoru koje imaju vektorske vrijednosti, je Jakobijan.

Sadržaj

1 Interpretacija gradijenta
2 Formalna definicija
3 Izrazi za gradijent u 3 dimenzije
- 3.1 Primjer
4 Gradijent i izvod ili diferencijal
- 4.1 Linearna aproksimacija funkcije
5 Također pogledajte
6 Reference

[uredi] Interpretacija gradijenta

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem $φ$ , tako da je u svakoj tački $(x, y, z)$ temperatura $φ(x, y, z)$ (pretpostavit ćemo da se temperatura ne mijenja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazat će smijer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, također, može koristit da se izmjeri kako se skalarno polje mijenja u drugim smjerovima (a ne samo u pravcu najveće promijene) korištenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamilimo brdo sa najvećim nagibom od 40%. Ako cesta ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, također, 40%. Ako, međutim, cesta ide oko brda sa uglom u smijeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati plići nagib. Na primjer, ako je ugao između ceste u prvca uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž ceste, biti 20%, štp se dobilo iz proizvoda 40% puta [kosinus]] od 60°.

[uredi] Formalna definicija

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije $f (x)$ po vaktorskoj varijabli $x = (x_1,\dots,x_n)$ se označava kao $\nabla f$ ili $\vec{\nabla} f$ gdje je $\nabla$ (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka $\operatorname{grad}(f)$ se, također, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente partial derivatives funkcije $f$ . To jest:

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n } \right).$

Skalarni proizvod $(\nabla f)_x\cdot v$ gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski intergrali kroz gradientno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoći gradijentnom teoremom. Suprotno, nerotacijsko vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvijek gradijent funkcije.

[uredi] Izrazi za gradijent u 3 dimenzije

Forma gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

$\nabla f(x, y, z) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix}$

U cilindričnim koordinatama:

$\nabla f(\rho, \theta, z) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial \rho}}, {\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix}$

(gdje je $θ$ azimutalni ugao, a $z$ je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

$\nabla f(r, \theta, \phi) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial r}}, {\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, {\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}} \end{pmatrix}$

(gdje je $θ$ azimutalni ugao, a $φ$ je zenitni ugao).

[uredi] Primjer

Na primjer, gradijent u pravouglim koordinatama

$f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)$

je:

$\nabla f= \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-\cos(z)} \end{pmatrix}.$

[uredi] Gradijent i izvod ili diferencijal

[uredi] Linearna aproksimacija funkcije

Gradijent funkcije $f$ iz Euklidovog prostora $\mathbb{R}^n$ u $\mathbb{R}$ i bilo kojoj tački x₀ u $\mathbb{R}^n$ karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x₀. Ta aproksimacija se zapisuje na sljedeći način:

$f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0)$

za $x$ koje je blizu $x 0$ , gdje je $(\nabla f)_{x_0}$ gradijent funkcije f izračunat u $x 0$ , gdje tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu $\mathbb{R}^n$ .

[uredi] Također pogledajte

Rotor
Divergencija
Laplaceov operator
Electrohemijska gradijent
Muzički izomorfizam
Nabla operator
Sobel operator
Stepen (nagib)
Nagib
Površinski gradijent

[uredi] Reference

Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, 157-160, New York: Dover Publications.

Kategorije: Vektorska analiza

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.