Gradiente
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El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física.
En otros contextos se usa informalmente gradiente, para indicar la existencia de gradualidad o variación gradual en determinado aspecto, no necesariamente relacionado con la distribución física de una determinada magnitud o propiedad.
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[editar] Definición
El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:
siendo un vector unitario y la derivada direccional de en la dirección de , que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:
Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:
[editar] Interpretación del Gradiente
De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llamese , , etcétera. Algunos ejemplos son:
- Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto , la temperatura es . Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.
- Considere una montaña en la cual su altura en el punto se define como . El gradiente de H en ese punto estará en la dirección del punto a mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.
[editar] Aproximación lineal de una función
El gradiente de una función f definida de Rn a R caracteriza la mejor aproximación lineal de la función en un punto particular x0 en Rn. Se expresa así:
donde es el gradiente evaluado en x0.
[editar] Propiedades
El gradiente verifica que:
- Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte..
- Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
- Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.
- Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla)
- El campo formado el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,
[editar] Expresión en diferentes sistemas de coordenadas
A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas.
En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente
En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión
Para coordenadas cilíndricas (hρ = hz = 1, ) resulta
y para coordenadas esféricas (hr = 1, hθ = r, )
[editar] Gradiente de un campo vectorial
En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente también puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento
Este tensor podrá representarse por una matriz , que en coordendas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.
[editar] Ejemplo
Dada la función f(x,y,z) = 2x + 3y2 − sin(z) su vector gradiente es:
[editar] Aplicaciones en física
El Gradiente posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.
Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico
Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como
Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en un material es proporcional al gradiente de temperaturas
siendo k la conductividad térmica.