Nabla

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Tabla de contenidos

1 Definición
- 1.1 Expresión en otros sistemas de coordenadas
- 1.2 Operador nabla en variedades diferenciales
2 Aplicaciones del operador nabla
3 Definición intrínseca
4 Álgebra del operador ∇
5 Véase también
6 Bibliografía avanzada

[editar] Definición

En geometría diferencial, nabla (también llamado del) es un operador diferencial representado por el símbolo : $\nabla$ (nabla).

En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:

$\nabla = \hat{x}{\partial \over \partial x} + \hat{y}{\partial \over \partial y} + \hat{z}{\partial \over \partial z}.$

siendo $\hat x$ , $\hat y$ y $\hat z$ los vectores unitarios en las direcciones de los ejes coordenados. Esta base también se representa por $\vec \imath$ , $\vec j$ , $\vec k$ .

[editar] Expresión en otros sistemas de coordenadas

Cuando se emplean sistemas de coordenadas diferentes de las coordenadas cartesianas, la expresión de nabla debe generalizarse. En sistemas de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas y las esféricas, en la expresión aparecen los factores de escala:

$\nabla = \frac{\hat{q}_1}{h_1}{\partial \over \partial q_1} + \frac{\hat{q}_2}{h_2}{\partial \over \partial q_2}+ \frac{\hat{q}_3}{h_3}{\partial \over \partial q_3}$

En particular, para coordenadas cilíndricas ( $h_\rho=h_z=1,\ h_\varphi=\rho$ ) resulta

$\nabla = \hat{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho} +\frac{\hat{\varphi}}{\rho}\frac{\partial }{\partial \varphi}+ \hat{z}\frac{\partial }{\partial z}$

y para coordenadas esféricas ( $h_r=1,\ h_\theta=r,\ h_\varphi=r {\rm sen}\theta$ )

$\nabla = \hat{r}\frac{\partial }{\partial r} +\frac{\hat{\theta}}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}+ \frac{\hat{\varphi}}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}$

El símbolo ∇ fue utilizado por primera vez por William Rowan Hamilton.

[editar] Operador nabla en variedades diferenciales

Dada una variedad diferenciable dotada de una conexión que de lugar a una derivada covariante se define el operador nabla como aplicación del conjunto de funciones sobre la variedad o 0-formas al conjunto de 1-formas de dicha variedad. Fijada un sistema de coordenadas local se expresa como:

$\nabla f = \sum_{\alpha} f_{;\alpha} dx^\alpha$

[editar] Aplicaciones del operador nabla

Este operador puede aplicarse a campos escalares (Φ) o a campos vectoriales F, dando:

• Gradiente: $\nabla \phi$

• Divergencia: $\nabla \cdot \vec{F}$

• Rotacional: $\nabla \times \vec{F}$

• Laplaciano: $\nabla^2 \phi = \nabla \cdot(\nabla \phi)$

[editar] Definición intrínseca

Puede darse una definición del operador nabla que no depende del sistema de coordenadas que se emplee. Esta definición es una generalización de la que se emplea para definir la divergencia:

$\nabla\star A = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{1}{\Delta V} \oint d\vec S\star A$

En la expresión anterior $\star$ representa un producto arbitrario (escalar, vectorial, tensorial o por un escalar) y $A$ es un campo escalar, vectorial o tensorial. $Δ V$ es un volumen diferencial que en el límite se reduce a un punto. De esta forma pueden definirse de forma intrínseca el gradiente, la divergencia, el rotacional y otros operadores sin nombre propio.

[editar] Álgebra del operador ∇

Al tratarse de un operador diferencial, el resultado de su aplicación sobre un producto sigue reglas similares a la derivada de un producto. Sin embargo, dependiendo del carácter de los entes sobre los que actúa, el resultado puede tener una expresión más o menos complicada. Las fórmulas más importantes son:

$\nabla(\phi\psi) = (\nabla\phi)\psi + \phi(\nabla\psi)$

$\nabla\cdot(\phi\vec A) = (\nabla\phi)\cdot \vec A + \phi(\nabla\cdot \vec A)$

$\nabla\times(\phi\vec A) = (\nabla\phi)\times \vec A + \phi(\nabla\times \vec A)$

$\nabla(\vec A\cdot \vec B) = \vec B\times(\nabla\times\vec A) + \vec A\times(\nabla\times\vec B) + (\vec B\cdot\nabla)\vec A + (\vec A\cdot\nabla)\vec B$

$\nabla\cdot(\vec A\times \vec B) = (\nabla\times\vec A)\cdot\vec B - (\nabla\times \vec B)\cdot\vec A$

$\nabla\times(\vec A\times \vec B) = (\nabla\cdot\vec B)\vec A + (\vec B\cdot\nabla)\vec A-(\nabla\cdot\vec A)\vec B - (\vec A\cdot\nabla)\vec B$

[editar] Véase también

[editar] Bibliografía avanzada

Div, Grad, Curl, and All That, H. M. Schey, ISBN 0-393-96997-5
Jeff Miller, Earliest Uses of Symbols of Calculus (Aug. 30, 2004).
Cleve Moler, ed., "History of Nabla", NA Digest 98 (Jan. 26, 1998).

Categoría: Análisis matemático

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.