Nabla

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Svært stof
Denne artikel omhandler svært stof. Der er endnu ikke taget hensyn til ikke-eksperter. Du kan hjælpe ved at skrive en letforståelig indledning.

Nabla er i matematikkens verden en differentialoperator indenfor kalkule med vektorer, repræsenteret ved symbolet Nabla , ∇.

Under normale omstændigheder kan man vælge at betragte Nabla-operatoren som en vektor, om end det er en noget speciel vektor.

I det tredimensionelle rum, $\mathbb{R}^3$ , vil ∇ for et retvinklet koordinatsystem se således ud (i kartesiske koordinater):

$\nabla = \left( { \partial \over \partial x} , { \partial \over \partial y} , { \partial \over \partial z} \right)$

[redigér] Brug af Nabla

Denne operator bruges i flere forskellige sammenhænge:

[redigér] Gradient

Den første type af brug er i forbindelse med bestemmelse af gradienten, der til en vis grad kan sammenlignes med differentialkvotienten af en funktion. Denne type beregning bruges ved funktioner af flere variable:

$\textrm{grad} f = \nabla f = \left( { \partial f \over \partial x} , { \partial f \over \partial y} , { \partial f \over \partial z} \right)$

[redigér] Divergens

Divergensen af et vektorfelt $\vec{v} = ( v_1 , v_2 , v_3 )$ inkluderer også Nabla-operatoren, men ved denne type beregning bruges den som et skalarprodukt.

$\textrm{div} \vec{v} = \nabla \cdot \vec{v} = { \partial v_1 \over \partial x } + { \partial v_2 \over \partial y } + { \partial v_3 \over \partial z }$

[redigér] Rotation

Rotationen af et vektorfelt $v$ findes ved krydsproduktet mellem et vektorfelt og Nabla, og har således en vektor som resultat.

$\textrm{rot} \vec{v} = \nabla \times \vec{v} = \left( {\frac{\partial v_3}{\partial y}} - {\frac{\partial v_2}{\partial z}}, {\frac{\partial v_1}{\partial z}} - {\frac{\partial v_3}{\partial x}}, {\frac{\partial v_2}{\partial x}} - {\frac{\partial v_1}{\partial y}} \right)$

[redigér] Laplace operatoren

Der findes endvidere en anden type af operator, kaldet Laplace operatoren der betegner hvad man kunne kalde den anden afledede. Denne noteres på følgende måder:

$\nabla^2 f = \Delta f = \nabla \cdot \nabla f$

[redigér] Definitioner

Et gradientfelt er rotationsfrit

Bevis:

For afbildningen $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$

Lad da $\vec{V} = \nabla f = (f'_x , f'_y , f'_z)$

Da er $\nabla \times \vec{V} = \nabla \times (\nabla f) = ( f''_{zy} - f''_{yz}, f''_{xz} - f''_{zx} , f''_{yx} - f''_{xy} ) = (0,0,0) = \vec{0}$

Jævnfør at differentiationsrækkefølgen er ligegyldig ved mere end to afledninger.

Et rotationsfelt er divergensfrit

Bevis:

Givet et vektorfelt $\vec{V} = (V_x,V_y,V_z)$

Da vil: $\nabla \times \vec{V} = \left( { \partial V_z \over \partial y} - { \partial V_y \over \partial z} , { \partial V_x \over \partial z} - { \partial V_z \over \partial x} , { \partial V_y \over \partial x} - { \partial V_x \over \partial y} \right)$

Og dermed: $\nabla \cdot ( \nabla \times \vec{V}) = \left( { \partial V_z \over \partial y \partial x } - { \partial V_y \over \partial z \partial x } + { \partial V_x \over \partial z \partial y } - { \partial V_z \over \partial x \partial y } + { \partial V_y \over \partial x \partial z } - { \partial V_x \over \partial y \partial z } \right) = 0$