Gradyan

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bu şekiller açıktan koyuya doğru artan skaler alanları ve artışa doğru yönelmiş gradyan vektörünü götermektedir.

Bir skaler alanın gradyanı artımın en çok olduğu yere doğru yönelmiş bir vektör alanını verir ve büyüklüğü değişimin en büyük değerine eşittir. Örneklemek gerekirse bir odadaki zamandan bağımsız sıcaklık dağılımını düşünülebilir. Sıcaklık dağılımı skaler bir alandır ve kartezyen koordinatlarda $\phi=\phi(x,y,z)\,$ olarak gösterilebilir. Bu dağılımın gradyanı en çabuk ısınan yeri işaret edecektir, gradyanın büyüklüğü de o yöndeki ısınmanın hızını verecektir. Başka bir örnek olarak bir yokuş ele alınabilir. Yokuşa onu üstten kesen bir düzlemden bakılırsa ortaya çıkan fonksiyon yokuşun eğim profili $H=H(x,y)\,$ ' i verir (basitlik için yokuşu iki boyutta düşünmek faydalı olacaktır). Bu fonksiyonun gradyanı yokuşun en dik yerini, gradyanın büyüklüğü de bu yerin dikliğini verir.

[değiştir] Tanım

x genelleştirilmiş koordinatların kapalı gösterimi olmak üzere $x=(x_1,\dots, x_n)$ bir f(x) fonksiyonunun gradyanı

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n } \right)$

şeklinde gösterilir. Burada $\nabla\,$ , del işlemcisini temsil etmektedir. Başka bir gösterim ise grad f 'tir.

[değiştir] Örnek

$f(x,y,z)=x^3+e^{2y}-\cos(wz)\,$ olmak üzere f fonksiyonunun gradyanı:

$\nabla f = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {3x^2}, {2e^{2y}}, {w\sin(wz)} \end{pmatrix}.$