Ohmsches Gesetz
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Als ohmsches Gesetz – benannt nach seinem Entdecker Georg Simon Ohm – wird die bei bestimmten elektrischen Leitern vorliegende lineare Abhängigkeit des Spannungsabfalls U vom hindurchfließenden elektrischen Strom I bezeichnet. Also:
Die Proportionalitätskonstante wird dabei als elektrischer Widerstand des Bauteils bezeichnet und mit R notiert, womit sich die Gleichung
ergibt. Um die Proportionalität von Spannung und Stromstärke bei konstantem Widerstand zu betonen, schreibt man auch
Durch diese Gleichung wird der ohmsche Widerstand, der dem elektrischen Widerstand entspricht, definiert.
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[Bearbeiten] Feldstärke und Stromdichte
Den Widerstand eines Materials kann man bezüglich der geometrischen Abmessungen des Materials darstellen:
wobei l die Länge und A die Querschnittsfläche des betrachteten Leiters und ρ der spezifische elektrische Widerstand ist. Zusätzlich gilt:
wobei 
der Einheitsvektor in Betrachtungsrichtung und 
bzw. 
die Vektoren der Breite bzw. Höhe des betrachteten Flächenelements ist (siehe Abbildung).
Dadurch lässt sich das ohmsche Gesetz folgendermaßen ausdrücken:
Mit
( bezeichnet jeweils den Einheitsvektor in die im Index angegebene Richtung) folgt daraus die Gleichung:
mit ρ = σ − 1
Hierbei ist E die elektrische Feldstärke, J die elektrische Stromdichte und σ der spezifische elektrische Leitwert. Die elektrische Stromdichte wird hierbei in der Literatur auch mit j oder S bezeichnet.
Der spezifische elektrische Leitwert σ – und folglich auch der spezifische elektrische Widerstand ρ – sind von der Feldstärke E bzw. der Stromdichte J abhängig. Ist diese Abhängigkeit im Betriebsbereich des Materials vernachlässigbar gering, so spricht man von einem linearen Leiter bzw. einem linear wirkenden Leiter.
[Bearbeiten] Mikroskopische Betrachtungsweise / maxwellsche Materialgleichung
In einer mikroskopischen Betrachtung wird das ohmsche Gesetz durch die lineare Abhängigkeit zwischen dem Stromdichte-Vektorfeld 
und dem elektrischen Feldstärke-Vektorfeld 
beschrieben, also
.
In isotropen Materialien ist der Tensor σmn durch einen Skalar approximierbar und es gilt:
.
Wenn man die Bewegung freier Elektronen wie die ungeordnete Molekülbewegung eines Gases betrachtet, kann man Konstanz der elektrischen Leitfähigkeit plausibel machen. Die Zähldichte n der Elektronen ist dann innerhalb des Leiters konstant. Die mittlere Geschwindigkeit 
der Elektronen ist
.
Die mittlere Wegstrecke λ zwischen zwei Stößen an Ionen im Metall wird in einer typischen Zeit τs zurückgelegt:
In dieser Zeit erfahren die Elektronen eine Beschleunigung a durch das angelegte elektrische Feld mit
,
wobei e die Elementarladung und me die Elektronenmasse ist. Die Elektronen erreichen somit eine Driftgeschwindigkeit vd mit vd = aτs. Setzt man dieses in die Gleichung für σ ein, erhält man:
.
Die Größen λ und hängen nur von der Geschwindigkeitsverteilung innerhalb der „Elektronenwolke“ ab. Da die Driftgeschwindigkeit aber ca. 10 Größenordnungen kleiner ist als die mittlere Geschwindigkeit , ändert sich die Geschwindigkeitsverteilung durch das Anlegen eines elektrischen Feldes nicht und λ und τs sind konstant und somit der ganze Ausdruck für σ.
[Bearbeiten] Gültigkeitsbereich
Das ohmsche Gesetz macht nur eine Aussage des Verhältnisses zwischen Strom und Spannung (bzw. zwischen Stromdichte und Feldstärke). Die Abhängigkeit des Stromflusses von weiteren Größen (Temperatur, Magnetfeld, Beleuchtung, …) wird durch das ohmsche Gesetz nicht beschrieben; auch wenn dies standardmäßig in der Literatur und von (fast allen) Lehrern so dargestellt wird. Aus diesem Grund ist das ohmsche Gesetz nur eine Näherung, d. h., in der Realität ist der Stromfluss auch von den oben genannten Größen abhängig.
Zwischen Strom und Spannung gilt im Gleichstromfall für hysteresefreie, sprungstellenfreien Widerstände unter Vernachlässigung weiterer Umgebungsbedingungen:
(Potenzreihenentwicklung von U(I) im Punkt I = 0).
Von ohmschen Widerstand spricht man, wenn alle Terme bis auf R1 verschwinden bzw. bei dem gerade betrachteten Strombereich vernachlässigbar sind. Von differentiellem ohmschen Widerstand spricht man, wenn alle Terme bis auf R0 und R1 verschwinden. Bei großen Stromdichten sind alle Widerstände nicht mehr als ohmscher Widerstand approximierbar.
Obige Herleitung zeigt auch, dass das Gesetz wahrscheinlich nicht mehr gilt, wenn die Frequenz eines angelegten E-Feldes in die Nähe der Größe gelangt oder größer wird als das Inverse der mittleren Zeit zwischen zwei Stößen (siehe Plasmafrequenz).
