Legge di Ohm

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La legge di Ohm esprime una relazione tra la differenza di potenziale V (tensione elettrica) ai capi di un conduttore e la corrente elettrica I che lo attraversa. Sia R la resistenza del conduttore, abbiamo:

$V = R \cdot I$

Gli elementi elettrici per i quali la legge è soddisfatta sono detti resistori (o resistenze) ideali o ohmici; tuttavia, per ragioni storiche, si continua ad attribuire all'enunciato il rango di legge. Si noti che la legge di Ohm esprime unicamente la relazione di linearità fra la corrente elettrica I e la differenza di potenziale V applicata. L'equazione indicata è semplicemente una forma dell'espressione che definisce il concetto di resistenza ed è valida per tutti i dispositivi conduttori.

La legge deve il proprio nome a quello del fisico tedesco Georg Simon Ohm.

Il principale fatto da dimostrare è che la densità di corrente è direttamente proporzionale al campo elettrico tramite la:

$\vec{J} = \sigma \vec{E}$ (il che è solo un'ottima approssimazione, valida a temperature ordinarie e con campi elettrici ordinari)

Questo si fa facilmente basandosi su un semplice modello microscopico: si suppongono le cariche elettriche di conduzione (elettroni) diffuse nel metallo come se fossero un gas. Come particelle di un gas, hanno una velocità media (energia cinetica media) che rappresenta la loro temperatura (identica alla temperatura del metallo che li contiene), e una lunghezza di cammino libero medio, oppure un tempo di volo libero medio $τ$ (tempo medio trascorso fra due urti termici successivi).

La presenza di un campo elettrico $\vec{E}$ provoca un'accelerazione $\vec{a}=\frac{q\vec{E}}{m}$ dell'elettrone di carica q e massa m, che nel tempo $τ$ genera la velocità di deriva $\vec{v}=\tau \vec{a}=\tau \frac{q\vec{E}}{m}$ .

Si suppone che la velocità v aggiunta dal campo elettrico sia molto piccola rispetto alla velocità media termica (in questo modo $τ$ è praticamente costante; l'assorbimento, o ridistribuzione, dell'energia cinetica aggiunta dal campo elettrico, fra l'altro, corrisponde all'effetto Joule di riscaldamento da parte della corrente), e che l'urto al termine del periodo di accelerazione $τ$ distrugga completamente la memoria della vecchia direzione di cammino. In questo modo la media $\frac{1}{2}v$ è praticamente la velocità di cammino della corrente, e, data la densità n delle cariche di conduzione, si ha che $\vec{J} = \sigma \vec{E}$ , con $\sigma = \frac{qn\tau}{2m}$ .

É noto che all'interno dei conduttori il campo elettrico è sempre nullo. Questo vale, a rigore, quando le cariche elettriche raggiungono una configurazione di equilibrio e si fermano. In presenza di correnti, in base al nostro modello, il campo $\vec{E}$ deve essere diverso da zero anche all'interno dei metalli.

Scrivendo la corrente elettrica come integrale della sua densità di corrente, si ottiene:

$I = \int_S \vec{J} \cdot \operatorname{d} \vec{A} = \int_S \sigma \vec{E} \cdot \operatorname{d} \vec{A}$

dove $σ$ è la conduttività elettrica ed $\vec{E}$ il campo elettrico.

Si supponga ora $σ$ costante, $\vec{E}$ perpendicolare alla superficie $S$ ovvero parallelo a $\operatorname{d} \vec{A}$ , e di modulo costante. In questo semplice caso si ottiene:

$I = \sigma \int_S \vec{E} \cdot \operatorname{d} \vec{A} = \sigma E A = \sigma \frac{V}{d} {A}$

dove $A$ è l'area della sezione di conduttore attraversato dalla carica elettrica e $d$ la lunghezza del conduttore.

In questo modo possiamo definire la conduttanza come:

$G = \frac{I}{V} = \sigma \frac{A}{d}$

Definendo, quindi, la resistenza $R$ come l'inverso della conduttanza

$\frac{1}{G} = R = \frac{d}{\sigma A} = \rho \frac{d}{A}$

dove $\rho = \tfrac{1}{\sigma}$ è la resistività, si ottiene la legge di Ohm.

[modifica] Legge di Ohm in regime sinusoidale

Per approfondire, vedi la voce Corrente alternata.

La legge di Ohm ha un'analoga estensione per i circuiti in corrente alternata. Utilizzando il metodo simbolico, ogni elemento è soggetto a grandezze del tipo:

v (t) = V m sin(ω t + φ)

i (t) = I m sin(ω t + φ)

dove $V m$ , $I m$ sono le ampiezze, $ω$ è la pulsazione e $φ$ la fase. Quindi:

$\mathbf V = \mathbf Z \cdot \mathbf I$

Ognuno dei componenti passivi resistenza, capacità e induttanza hanno una forma analoga alla legge di Ohm, premettendo di considerare le grandezze come complesse:

$\mathbf{V}_R = R \cdot \mathbf{I}$

$\mathbf{V}_L = j \omega L \mathbf I$

$\mathbf{V}_C = \frac{1}{j \omega C} \mathbf{I}$

dove $j 2 = - 1$ è l'unità immaginaria. In ognuno dei tre casi si definisce l'impedenza:

$\mathbf{Z}_R = R$ è l'impedenza resistiva;

$\mathbf{Z}_L = j \omega L$ impedenza induttiva;

$\mathbf{Z}_C = -j \frac{1}{\omega C}$ impedenza capacitiva;

è in generale un numero complesso. I circuiti in corrente alternata usano questo tipo di formalismo perché molto elegante e immediato, in definitiva la legge di Ohm e tutte le leggi quali Teorema di Norton, thevenin e Millman hanno analoghe forme per circuiti in corrente alternata.

Occorre precisare che questa forma lineare di impedenza per la corrente alternata è valida solo in regime stazionario (praticamente, dopo un po' di tempo dal contatto dell'interruttore; in realtà la stabilizzazione avviene in maniera estremamente veloce). In seguito a bruschi cambiamenti delle condizioni del circuito, infatti (che tipicamente consistono, come si è detto, in aperture e chiusure di interruttori), vengono sovrapposti voltaggi e correnti transienti, che si spengono esponenzialmente. Il formalismo precedente, per esempio, non spiega la scintilla che si produce quando un interruttore viene aperto.

In generale, lo stato stazionario di un circuito si studia con l'analisi di Fourier (le semplici equazioni presentate), e lo stato completo, uguale allo stato stazionario sovrapposto ai transienti, richiede l'analisi di Laplace (queste sono algebricamente molto simili).

Per approfondire, vedi la voce Circuito RLC.