Maxwellsche Gleichungen

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Die vier Maxwellschen Gleichungen beschreiben die Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme, sowie die Wechselwirkung zwischen diesen beiden Feldern, die bei zeitabhängigen Feldern als Zeitentwicklung in Erscheinung tritt. Sie sind die Grundlage der Elektrodynamik und der theoretischen Elektrotechnik und wurden in den Jahren 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt. Im Wesentlichen fasste Maxwell die bis zu diesem Zeitpunkt entdeckten Gesetzmäßigkeiten

in einer vereinheitlichten Theorie zusammen und ergänzte sie um

den Maxwellschen Verschiebungsstrom,

um Konsistenz mit der Kontinuitätsgleichung zu erhalten. Die Maxwellschen Gleichungen sind ein Beispiel für eine vereinheitlichte Theorie, die verschiedene Phänomene, hier magnetische und elektrische, in einer geschlossenen Form erklärt.

[Bearbeiten] Übersicht

Für das Verständnis der folgenden Gleichungen sind Grundkenntnisse in Vektoranalysis erforderlich. Die Maxwellschen Gleichungen lassen sich in differentieller und in integraler Form darstellen. Die Äquivalenz beider Formulierungen beruht auf dem Satz von Stokes und dem Satz von Gauß. Daneben gibt es eine elegante vierdimensionale Formulierung, die sogenannte kovariante Form (s. u.), die z. B. in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik verwendet wird.

**Maxwellsche Gleichungen in SI-Einheiten**
differentielle Form	verknüpfender Integralsatz	Integralform
Physikalisches Gaußsches Gesetz: Das ${}_{\boldsymbol D}$ -Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung (Ladungsdichte ρ) ist Quelle des elektrischen Feldes.	Gauß	Der (elektrische) Fluss durch die geschlossene Oberfläche ${}_{\partial V}$ eines Volumens V ist gleich der elektrischen Ladung in seinem Inneren.
$\mbox{div}\,\boldsymbol D=\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol D=\rho$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial V} \boldsymbol D\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A=\int_V\rho\;\mathrm{d}V$
Das ${}_{\boldsymbol B}$ -Feld ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole.	Gauß	Der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche eines Volumens ist gleich der magnetischen Ladung in seinem Inneren, nämlich Null, da es keine magnetischen Monopole gibt.
$\mbox{div}\,\boldsymbol B=\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol B=0$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial V} \boldsymbol B\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A=0$
Induktionsgesetz (Vorsicht: Die Integralformulierung ist an dieser Stelle allgemeiner. Siehe auch Differentielle und integrierte Form): Jede Änderung des ${}_{\boldsymbol B}$ -Feldes führt zu einem elektrischen Gegenfeld. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Induktion abhängig.	Stokes	Die (elektrische) Zirkulation über dem Rand ${}_{\partial A}$ einer Fläche A ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche. Hinweis: die unten dargestellte Formel gilt, letztlich wegen der relativistischen Invarianz der Maxwell-Theorie, in der angegebenen Form auch bei zeitlich veränderlicher Fläche. Die Integralformulierung ist in diesem Punkt allgemeiner. Siehe Differentielle und integrierte Form.
$\mbox{rot}\,\boldsymbol E+\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}=\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol E+\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}=0$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial A}\boldsymbol E\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol s+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\int_A\boldsymbol B\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A\right)=0$
Verallgemeinertes Durchflutungsgesetz: (Hinweis: Bezüglich der größeren Allgemeinheit der Integralformulierung gilt analoges wie beim Induktionsgesetz.) Die Wirbel des Magnetfeldes hängen von der elektrischen Leitungsstromdichte ${}_{\boldsymbol j_l}$ und von der elektrischen Flussdichte ${}_{\boldsymbol D}$ ab. Die zeitliche Änderung von ${}_{\boldsymbol D}$ wird auch als Verschiebungsstromdichte ${}_{\boldsymbol j_v}$ bezeichnet und ergibt als Summe mit der Leitungsstromdichte die totale Stromdichte ${}_{\boldsymbol j = \boldsymbol j_l + \boldsymbol j_v}$ :	Stokes	Die magnetische Zirkulation über dem Rand einer Fläche ist gleich der Summe aus dem (elektrischen) Strom und der zeitlichen Änderung des elektrischen Flusses durch die Fläche.
$\mbox{rot}\,\boldsymbol H=\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol H=\boldsymbol j_l + \frac{\partial\boldsymbol D}{\partial t}$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial A}\boldsymbol H\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol s=\int_A\boldsymbol j_l\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\int_A\boldsymbol D\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A \right)$

Siehe auch: Differentielle und integrierte Form

[Bearbeiten] Erläuterungen

[Bearbeiten] Skalare Felder

Das Symbol ρ steht dabei für die Raumladungsdichte und stellt die über den Raum verteilte elektrische Ladung dar. Die Verteilung der Ladung im Raum ist ein skalares Feld.

[Bearbeiten] Vektorfelder

Oben eingeführte Vektorfelder lassen sich in drei Bereiche einteilen, welche durch ihren jeweiligen Satz von Gleichungen beschrieben werden. Diese drei Bereiche sind das elektrische Strömungsfeld, das elektrische Feld und das magnetische Feld.

[Bearbeiten] Elektrisches Strömungsfeld

Die elektrische Stromdichte ${}_{\boldsymbol j}$ als wesentlicher Bestandteil des Strömungsfeldes gibt an, wie viel Strom pro Fläche in welche Richtung fließt. Darin ist sowohl die Leitungsstromdichte, welche durch den Fluss von elektrischen Ladungsträgern meist in elektrischen Leitern verursacht wird, und der Verschiebungsstrom enthalten. Die elektrische Stromdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und der dabei auftretenden elektrischen Leitfähigkeit $σ$ mit der elektrischen Feldstärke ${}_{\boldsymbol E}$ verknüpft.

[Bearbeiten] Elektrisches Feld

${}_{\boldsymbol D}$ ist die elektrische Flussdichte, historisch und etwas verwirrend auch als elektrische Verschiebungsdichte oder als elektrische Erregung bezeichnet. Hierbei handelt es sich um die Dichte des elektrischen Flusses welcher von elektrischen Ladungen ausgeht. Die elektrische Flussdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und die dabei auftretenden dielektrischen Leitfähigkeit ${}_\varepsilon$ mit der elektrischen Feldstärke ${}_{\boldsymbol E}$ verknüpft. Noch allgemeiner gilt ${}_{\boldsymbol D =\epsilon_0\,\boldsymbol E+\boldsymbol P}$ , mit der elektrischen Polarisation ${}_{\boldsymbol P}$ , dem elektrischen Dipolmoment pro Volumen.

[Bearbeiten] Magnetisches Feld

${}_{\boldsymbol B}$ ist die magnetische Flussdichte, auch historisch als Induktion bezeichnet. Hierbei handelt es sich um die Dichte des magnetischen Flusses, welcher von bewegten elektrischen Ladungen oder von Permanentmagneten verursacht wird. Die magnetische Flussdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und die dabei auftretende magnetischen Leitfähigkeit $μ$ mit der magnetischen Feldstärke ${}_{\boldsymbol H}$ verknüpft. Noch allgemeiner gilt ${}_{\boldsymbol B =\mu_0\boldsymbol H +\boldsymbol J}$ , mit der magnetischen Polarisation ${}_{\boldsymbol J}$ , dem magnetischen Dipolmoment pro Volumen (als Magnetisierung wird die im Weiteren zu ${}_{\boldsymbol J}$ äquivalente Größe ${}_{\boldsymbol M =\frac{\boldsymbol J}{\mu_0}}$ bezeichnet).

Die magnetische Polarisation ${}_{\boldsymbol J}$ sollte nicht mit der Stromdichte ${}_{\boldsymbol j}$ verwechselt werden. Hierfür gilt:

$\boldsymbol J = \boldsymbol j + \frac{\part \boldsymbol D}{\part t}$ ^[1]

[Bearbeiten] Zusammenhang

Die in allen drei Bereichen auftretenden Materialgleichungen werden nicht direkt zu den maxwellschen Gleichungen gezählt, sondern die drei Gleichungssätze:

Maxwellsche Gleichungen
Materialgleichungen der Elektrodynamik
Kontinuitätsgleichungen der Elektrodynamik

stellen gemeinsam und unter gegenseitiger Ergänzung das Fundament der elektrodynamischen Feldtheorie dar. Die Materialgleichungen gelten in der allgemeinen Form sowohl für den leeren Raum als auch für mit Materie ausgefüllte Raumbereiche.

Aus historischen Gründen und manchmal auch um bestimmte Berechnungsvorgänge spezifisch darzustellen, werden die Materiegleichungen und die darin auftreten drei Leitfähigkeiten jeweils in den Anteil des leeren Raumes ${}_{\varepsilon_0}$ bzw. ${}_{\mu_0}$ und den Anteil der Leitfähigkeit welcher durch die Materie verursacht wird ${}_{\varepsilon_r}$ und ${}_{\mu_r}$ aufgespalten. Das elektrische Strömungsfeld existiert nicht im leeren Raum und ist immer an Materie gebunden, wodurch bei der elektrischen Leitfähigkeit $σ$ als Stoffkonstante diese Aufspaltung nicht erfolgen kann.

Für das elektrische Feld ergibt sich durch die Aufspaltung der dielektrischen Leitfähigkeit die Möglichkeit zur Einführung eines weiteren Vektorfeldes, der elektrischen Polarisation ${}_{\boldsymbol P}$ .

Hinweis: In der Fachliteratur wird manchmal die dielektrische Polarisation auch als elektrische Polarisation bezeichnet, da es dabei um das elektrische Feld geht. Da das Strömungsfeld keine Polarisation in diesem Kontext aufweist, ist diese Polarisation somit immer eindeutig dem elektrischen Feld zugewiesen. ${}_{\boldsymbol P}$ beschreibt getrennt von den Eigenschaften des leeren Raumes die geänderten Verhältnisse in Materie für das elektrische Feld.

Analog dazu beschreibt die magnetische Polarisation ${}_{\boldsymbol J}$ die von den Eigenschaften des leeren Raumes losgelösten Verhältnisse in Materie für das magnetische Feld. Aus der magnetischen Polarisation ergibt sich die Magnetisierung ${}_{\boldsymbol M=\frac{\boldsymbol J}{\mu_0}}$ . (Im cgs-System sind die Verhältnisse verwirrender: ${}_{\boldsymbol J}$ und ${}_{\boldsymbol M}$ werden dort gleich bezeichnet, als cgs-Magnetisierung, und unterscheiden sich nur um einen Faktor ${}_{4\,\pi}$ , je nachdem ob ${}_{\boldsymbol B}$ oder ${}_{\boldsymbol H}$ gemeint ist.)

Grundsätzlich kann ohne Verlust auf die Einführung der Vektorfelder der elektrischen Polarisation ${}_{\boldsymbol P}$ und der magnetischen Polarisation ${}_{\boldsymbol J}$ (bzw. der dazu äquivalenten Magnetisierung ${}_{\boldsymbol M}$ ) verzichtet werden. Statt dessen werden die Abhängigkeiten in den Materialgleichungen und den entsprechend allgemein gefassten Leitfähigkeiten in Form von Tensoren höherer Ordnung berücksichtigt. Weiterhin können die Leitfähigkeiten auch Funktionen darstellen, um nichtlineare Eigenschaften der Materie erfassen zu können. Diese können sogar von der Vorbehandlung abhängen, also explizit zeitabhängig sein. Diese Vorgangsweise empfiehlt sich auch für einen systematischen Zugang, wenn dieser über das SI-Einheitensystem erfolgt. Aus historischen Gründen, aber auch in bestimmten Teilbereichen der Physik, wird allerdings manchmal sehr intensiv von den ${}_{\boldsymbol P}$ - und ${}_{\boldsymbol J}$ - (bzw. ${}_{\boldsymbol M}$ )-Vektorfeldern Gebrauch gemacht, weshalb im Folgenden dieser Sachverhalt näher dargestellt wird.

[Bearbeiten] Notationen der Maxwell'schen Gleichungen

Maxwell veröffentlichte seine Gleichungen 1865 in Vektorform^[1]. Im Jahr 1873 brachte Maxwell seine Gleichungen in eine quaternionische Darstellung^[2]. Im Zuge dessen hat Maxwell auch das magnetische Potenzialfeld ${}_{\boldsymbol \Omega}$ und die magnetische Masse $m$ in seine Gleichungen eingeführt und diese Feldvariablen in die Gleichung für die elektromagnetische Kraft $F$ eingefügt. Maxwell rechnete allerdings nicht direkt in dieser Notation, sondern behandelte den Skalarteil und den Vektorteil getrennt.

ursprüngliche Notation
Maxwell (1865)^[1]	Maxwell (1873)^[2]
Satz der Stromerhaltung $J = j + \frac{\part D}{\part t}$	Satz der Stromerhaltung $J_{tot} = J + \dot D$
Satz der magnetischen Kraft $\mu\,H = \nabla \times A$	Satz der magnetischen Kraft $F = V \cdot v\,B + e\,E - m\,\nabla\,\Omega$
Ampère'sches Gesetz $\nabla\times H=J$	$B = H + 4\,\pi\,M$
Elektromotorische Kraft (Lorentzkraft) $E = \mu\,\left(v \times H\right) - \frac{\part A}{\part t} - \nabla\,\varphi$	Elektromotorische Kraft (Lorentzkraft) $E = V \cdot v\,B - \dot{A} - \nabla\,\Psi$
Elektrische Elastizität $D = \epsilon\,E$	Elektrische Elastizität $D=\frac{1}{4\,\pi} K\,E$
Ohm'sches Gesetz $j = \sigma\,E$	Ohm`sches Gesetz $J = C\,E$
Gauß'sches Gesetz $-\rho=\nabla\cdot D$	$4\,\pi\,{J}_{tot} = V \cdot \nabla\,H$
Kontinuitätsgleichung $-\frac{\part \rho}{\part t} = \nabla\cdot j$	$B = V \cdot \nabla\,A$
	$B = \mu\,H$
	$e = S\cdot \nabla\,D$
	$m = S\cdot\nabla\,M$
	$H = -\nabla\,\Omega$

Die heute gängigen Notationen wurden erst später von Oliver Heaviside^[3] und Josiah Willard Gibbs^[4] auf der Grundlage der ursprünglichen Maxwell'schen Gleichungen von 1865 formuliert. Diese Notation ist einfacher zu lesen und in den meisten Fällen auch einfacher anzuwenden, weshalb diese Notationen auch heute noch üblich sind. Hierbei handelt es sich jedoch um eine Untermenge der ursprünglichen Gleichungen.

Heute übliche Notation
Ampère'sches Gesetz	$\nabla\times H = \frac{\part D}{\part t} + j$
Faraday'sches Gesetz	$-\nabla\times E = \frac{\part B}{\part t}$
Coulomb'sches Gesetz	$\nabla\cdot D = \rho$
Gauß'sches Gesetz des Magnetismus	$\nabla\cdot B = 0$
	$D = \epsilon_0 \, E + P = \epsilon\,E$
	$B = \mu_0\,H + M = \mu\,H$

Die Schreibweise als Viervektor wurde erst später mit Albert Einsteins Spezieller Relativitätstheorie wieder gebräuchlich^[5].

Traditionell wird das Faraday'sche Gesetz und das Ohm'sche Gesetz ${}_{\boldsymbol j=\boldsymbol \sigma\,\boldsymbol E}$ ( $σ$ ist hierbei der spezifische elektrische Leitwert) meist nicht in die Maxwellgleichungen miteinbezogen. Auch die Kontinuitätsgleichung ${}_{\frac{\part \rho}{\part t} = 0}$ , welche die Ladungserhaltung definiert, wird meist nicht erwähnt.

Die elektrischen Feldstärken $E$ , sowie die magnetischen Feldstärken $B$ werden als physikalisch vorhandene Kraftfelder interpretiert. Diese Felder beschreiben Kräfte zwischen elektrischen und magnetischen Polen. Maxwell verband diese Kraftfelder mit dem elektrischen Potenzialfeld $φ$ und dem Vektorpotenzial $A$ :

$\boldsymbol E = -\nabla\,\phi - \frac{\part \boldsymbol A}{\part t}$

$\boldsymbol B = \nabla \times \boldsymbol A$

Diese Potenzialfelder werden als Auslöser für die elektrischen und magnetischen Kraftfelder vermutet^[6]. (siehe: Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen)

[Bearbeiten] Erweiterung der Maxwell'schen Gleichungen

[Bearbeiten] Heinrich Rudolf Hertz

Heinrich Rudolf Hertz schlug vor die partiellen Ableitungen der Maxwell`schen Gleichungen durch vollständige Ableitungen zu ersetzen. Dadurch werden die Maxwell'schen Gleichungen invariant gegenüber Galilei-Transformationen. Hierbei erhält man über den Zusammenhang

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}=\frac{\part}{\part t} + \boldsymbol v\cdot\nabla$

die Gleichungen

$\nabla\times\boldsymbol H=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol D}{\mathrm{d}t}+\boldsymbol j=\frac{\part\boldsymbol D}{\part t}+\boldsymbol v\cdot\nabla\boldsymbol D+\boldsymbol j$

$-\nabla\times\boldsymbol E=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol B}{\mathrm{d}t}=\frac{\part\boldsymbol B}{\part t}+\boldsymbol v\cdot\nabla\,\boldsymbol B$

$-\boldsymbol E=\nabla\,\phi+\frac{\mathrm{d}\boldsymbol A}{\mathrm d t}=\nabla\,\phi+\frac{\part\boldsymbol A}{\part t}+\boldsymbol v\cdot\nabla\boldsymbol A$

Die Geschwindigkeit v interpretierte Hertz als absolute Bewegung von Elementen des Äthers, während die Maxwellgleichungen für v=0 definiert sind. Thomas Phillipps hingegen interpretierte diese Geschwindigkeit als Geschwindigkeit einer Ladung relativ zum Beobachter^[7].

[Bearbeiten] Paul Dirac

Paul Dirac führte im Zuge seiner Überlegungen zu magnetischen Monopolen eine symmetrische Formulierung der Maxwell'schen Gleichungen ein, welche auf imaginäre Felder verzichtet^[8]. Dirac ergänzte die folgenden Gleichungen:

$\nabla\times\boldsymbol H = \boldsymbol\epsilon \,\frac{\part\boldsymbol E}{\part t}+\boldsymbol j_e$
$-\nabla\times\boldsymbol E = \boldsymbol\mu\,\frac{\part\boldsymbol H}{\part t}+\boldsymbol j_m$
$\boldsymbol\mu\,\nabla\cdot\boldsymbol H=\boldsymbol \rho_m$
$\boldsymbol\epsilon\,\nabla\cdot\boldsymbol E=\boldsymbol \rho_e$

Als Konsequenz werden die elektrischen Kraftfelder ${}_\boldsymbol E$ – und damit auch die magnetischen Kraftfelder ${}_\boldsymbol B$ – durch zu $φ$ und ${}_{\boldsymbol A}$ komplementäre magnetische Monopole ${}_\varphi$ und $C$ gebildet:

$\boldsymbol E = \nabla\,\phi-\frac{\part\boldsymbol A}{\part t}-\nabla\times\boldsymbol C$
$\boldsymbol E = \nabla\,\varphi-\frac{\part\boldsymbol C}{\part t}-\nabla\times\boldsymbol A$

Die obigen Gleichungen postulieren somit zwei Arten von Photonen, welche auf unterschiedliche Weise mit Materie interagieren^[8]. Allerdings konnten magnetische Monopole im Experiment nicht nachgewiesen werden.

siehe auch: Maxwellgleichungen unter Berücksichtigung hypothetischer, magnetischer Monopole

[Bearbeiten] Maxwellgleichungen in Materie

In Materie gilt allgemein

$\boldsymbol D := \varepsilon \boldsymbol E = \varepsilon_0 \boldsymbol E + \boldsymbol P$

sowie

$\boldsymbol H := \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol B - \boldsymbol M$

bzw.

$\boldsymbol B := \mu \boldsymbol H =\mu_0 (\boldsymbol H + \boldsymbol M) = \mu_0 \boldsymbol H + \boldsymbol J$ ,

wobei sich im Spezialfall der Linearität bei Isotropie oder bei kubischen Systemen noch folgende Vereinfachung ergibt:

$\boldsymbol D =\epsilon_0\epsilon_r \,\boldsymbol E$

und

$\boldsymbol B =\mu_0\mu_r\,\boldsymbol H$ .

In homogenenen isotropen Materialien (dh. $ε$ und $μ$ sind skalar und konstant) erhält man für die Maxwellgleichungen

$\nabla\times\boldsymbol H = \epsilon\,\frac{\part\boldsymbol E}{\part t}+\sigma\,\boldsymbol E$
$-\nabla\times\boldsymbol E = \mu\,\frac{\part \boldsymbol H}{\part t}$
$\epsilon\,\nabla\cdot\boldsymbol E = \rho$
$\mu\,\nabla\cdot\boldsymbol H = 0$

In anisotroper nicht-kubischer linearer Materie werden die Skalare ${}_{\varepsilon_r}$ und ${}_{\mu_r}$ zu Tensoren 2. Stufe wobei die Beziehungen weiterhin Gültigkeit behalten. In nichtlinearen Materialien hängen die Leitfähigkeiten von den jeweiligen Momentanwerten der Feldstärken oder im allgemeinsten Fall von deren gesamter Geschichte ab (siehe Hysterese). Die ${}_{\boldsymbol P}$ - und ${}_{\boldsymbol J}$ -Felder (elektrische bzw. magnetische Polarisation genannt) verschwinden außerhalb der Materie was in den genannten Spezialfällen gleichwertig mit der Aussage ist, dass ${}_{\varepsilon_r=\mu_r=1}$ wird.

Die dielektrische Polarisation ist dann mit der elektrischen Suszeptibilität ${}_{\chi_e}$ , bzw. der relativen Permittivität ${}_{\varepsilon_r}$ und der Vakuum-Permittivität (Dielektrizitätskonstante) ${}_{\varepsilon_0}$ folgendermaßen verknüpft (im SI-System, d. h. in der Einheit ${}_{\mathrm{\frac{A\,s}{V\,m}}}$ ):

$\boldsymbol P := \varepsilon_0 \chi_e \boldsymbol E = \varepsilon_0 \cdot ({\varepsilon_r}-1) \boldsymbol E$ ,

mit

${\varepsilon_r}=1+{\chi_e}$ .

Für die magnetische Polarisation ${}_{\boldsymbol J}$ bzw. die Magnetisierung ${}_{\boldsymbol M=\frac{\mathbf J}{\mu_0}}$ gilt entsprechend, mit der magnetischen Suszeptibilität ${}_{\chi_m}$ , bzw. der relativen Permeabilität ${}_{\mu_r}$ und der Vakuum-Permeabilität (magnetische Feldkonstante) ${}_{\mu_0}$ mit der Einheit ${}_{\mathrm{\frac{V\,s}{A\,m}}}$ :

$\boldsymbol J :=\mu_0\, \chi_m\, \boldsymbol H =\mu_0\cdot \left(\mu_r - 1\right)\, \boldsymbol H$ ,

mit

μ r = 1 + χ m

(Vorsicht: im cgs-System sind ${}_{\chi_e}$ und ${}_{\chi_m}$ mit ${}_{4\,\pi}$ zu multiplizieren!)

Weiter ergibt sich die Definition der Brechzahl mit

$n:= \sqrt{{\varepsilon_r \, \mu_r}}$

und der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

$c_0:= \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \, \mu_0}}$

was die Lichtgeschwindigkeit im Material mit den entsprechenden Konstanten in Verbindung bringt. So ist die Phasengeschwindigkeit im Medium

$c_p:=\frac{c_0}{n} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \, \mu_0 \, \varepsilon_r \, \mu_r}}$ ,

die bei frequenzunabhängiger Brechzahl (ohne Dispersion) gleich der Gruppengeschwindigkeit im Medium ist.

[Bearbeiten] Maxwellgleichungen für konstante Frequenzen $ω$ in komplexer Schreibweise

Die in den maxwellschen Gleichungen auftretenden Feldvektoren sind im allgemeinen nicht nur Funktionen des Ortes sondern auch der Zeit, beispielsweise ${}_{\boldsymbol H(x,y,z,t)}$ . In den partiellen Differantialgleichungen tritt dann neben den Ortsvariablen auch die Zeitvariable auf. Zur vereinfachten Lösung dieser Differentalgleichungen beschränkt man sich in Praxis oft auf harmonische (sinusförmige) Vorgänge. Diese Darstellung ist für die praktische Feldberechnung, beispielsweise bei der Berechnung von elektromagnetischen Schirmen oder für die Antennentechnik von wesentlicher Bedeutung.

Mit Hilfe der komplexen Schreibweise lässt sich die Zeitabhängigkeit bei harmonischen Vorgängen vermeiden, da sich der komplexe Zeitfaktor ${}_{e^{j\,\omega\,t}}$ dabei heraushebt. Die in den maxwellschen Gleichungen auftretenden Feldgrößen sind dann komplexe Amplituden und nur noch Funktionen des Ortes. An Stelle der partiellen Differentiation nach der Zeit tritt die Multiplikation mit dem imaginären Faktor ${}_{j\,\omega}$ . Der Faktor $ω$ wird auch als Kreisfrequenz bezeichnet.

Hierbei wird wie in der Elektrotechnik üblich die imaginäre Einheit mit j bezeichnet (sie sollte nicht mit der häufig für die Stromdichte verwendeten Variable j verwechselt werden) - in Mathematik und theoretischer Physik wird sie meist i geschrieben.

In komplexer Form, komplexe Größen sind zur Unterscheidung unterstrichen, lauten die maxwellschen Gleichungen in Differentialform:

$\boldsymbol \nabla \cdot \underline{\boldsymbol D} = \underline{\rho}$

$\boldsymbol \nabla \cdot \underline{\boldsymbol B} = 0$

$\boldsymbol \nabla \times \underline{\boldsymbol E} = -j\,\omega\,\underline{\boldsymbol B}$

$\boldsymbol \nabla \times \underline{\boldsymbol H} = \underline{\boldsymbol j} = \left(\sigma + j\,\omega \,\varepsilon\right)\,\underline{\boldsymbol E}$

[Bearbeiten] Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen

In diesem Absatz wird, wie im übrigen Artikel, das SI-Einheitensystem verwendet. Dieses und die damit verbundenen Faktoren $μ 0$ , $\varepsilon_0$ etc. empfinden viele Theoretiker gerade bei der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik als unnatürlich und verwenden andere Systeme, etwa Gauß-Einheiten oder Heaviside-Lorentz-Einheiten, in denen die Grundgrößen der Elektrodynamik anders definiert werden. In der Literatur können deshalb verglichen mit dieser Darstellung Vorfaktoren wegfallen, hinzukommen oder an andere Stellen rücken.

Die Elektrodynamik, wie sie durch die Maxwellgleichungen beschrieben wird, ist im Gegensatz zur newtonschen Mechanik verträglich mit der speziellen Relativitätstheorie. Dazu gehört, dass die Maxwellgleichungen in jedem Inertialsystem gelten, ohne dass sich beim Wechsel des Bezugssystems ihre Form ändert. Dies spielte historisch für die Entwicklung der Relativitätstheorie durch Albert Einstein eine wichtige Rolle.

Technischer formuliert sind die Maxwellgleichungen relativistisch kovariant oder forminvariant, das heißt, dass sie ihre Gestalt unter Lorentz-Transformationen nicht ändern.

Diese Eigenschaft ist den Maxwellgleichungen in der oben beschriebenen Form jedoch nicht ohne weiteres anzusehen. Es kann deshalb nützlich sein, durch eine Umformulierung der Theorie die Forminvarianz herauszuarbeiten, anders ausgedrückt: die Theorie „manifest kovariant“ zu schreiben.

Hierzu ist es zweckmäßig, die oben auftretenden Größen $\boldsymbol{E}$ , $\boldsymbol{B}$ usw. durch Größen ausdrücken, die ein klar definiertes, einfaches Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen haben, also durch Lorentz-Skalare, Vierervektoren und Vierer-Tensoren höherer Stufen.

Ausgangspunkt für diese Umformulierung bilden die elektromagnetischen Potentiale $φ$ (skalares Potential) und $\boldsymbol{A}$ (Vektorpotential), aus denen man die elektrischen und magnetischen Felder durch

$\boldsymbol{E} = -\boldsymbol{\nabla} \phi - \partial_t \boldsymbol{A}$
$\boldsymbol{B} = \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A}$

erhält (siehe auch Elektrodynamik). Diese Größen lassen sich zu einem Vierervektor, dem Viererpotential

$A^\mu = \left(\frac{\phi}{c}, \boldsymbol{A} \right)$

zusammenfassen. Ebenso kann man aus Ladungsdichte $ρ$ und Stromdichte $\boldsymbol{j}$ die Viererstromdichte zusammensetzen, mit

$j^\mu = (c \rho, \boldsymbol{j})$ .

Aus dem Viererpotential wird der elektrodynamische Feldstärketensor abgeleitet, dessen Komponenten bis auf Vorzeichen und konstante Vorfaktoren, die vom Einheitensystem abhängen, gerade die der elektrischen und magnetischen Felder sind. Er hat die Form

$F^{\alpha\beta} = \partial^\alpha A^\beta - \partial^\beta A^\alpha = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \\ \end{pmatrix}$ .

Man definiert nun den Vierergradienten, die relativistische Form der Ableitung, als

$\partial^\alpha=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\nabla \right)$ , also $\partial_\alpha=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, +\nabla \right)$ , sowie die Differentiale

d x α = (c d t,d x,d y,d z)

, die bei der Behandlung der Maxwellschen Gleichungen im Artikel Differentialformen benötigt werden, der an dieser Stelle auch empfohlen wird.

Mit diesen Größen kann man die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen im Vakuum durch die kovariante Gleichung

$\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} = \mu_0 j^{\beta}$

ersetzen. Dabei wird, wie üblich, die einsteinsche Summenkonvention benutzt, das heißt, über doppelt auftretende Indizes in Produkten (hier $α$ ) wird summiert. Ferner erfolgt wie üblich das Herauf- und Herunterziehen von Indizes mit dem Tensor

${\mathbf{\eta}}=\begin{pmatrix} +1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$ .

Man beachte, dass wegen der Antisymmetrie des Feldstärketensors auch die Kontinuitätsgleichung (Verschwinden der 4er-Divergenz) folgt

$\frac{1}{c} \partial_t \rho + \mbox{div}\,\boldsymbol{j} = \mu_0 \partial_{\beta} j^{\beta} = \partial_{\alpha} \partial_{\beta} F^{\alpha\beta} = - \partial_{\alpha} \partial_{\beta} F^{\beta\alpha} = - \partial_{\beta} \partial_{\alpha} F^{\beta\alpha} = 0$ .

Die beiden homogenen Maxwellgleichungen erhalten im Vakuum die manifest kovariante Form

$\partial_\alpha F_{\beta\gamma} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha\beta} = 0$

Dies wird auch häufig mit dem Levi-Civita-Symbol kompakter geschrieben als

$\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \partial_\alpha F_{\gamma\delta} = 0$

oder

$\partial_\alpha \mathcal{F}^{\alpha\beta} = 0$

mit dem dualen Feldstärketensor

$\mathcal{F}^{\alpha\beta} = \frac{1}{2} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} F_{\gamma\delta},$

dessen Komponenten man auch aus denen von $F αβ$ erhalten kann, indem man die Vektoren $\boldsymbol{E}/c$ durch $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{B}$ durch $-\boldsymbol{E}/c$ ersetzt. Also

$\mathcal{F}^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} 0 & -B_x & -B_y & -B_z \\ B_x & 0 & \frac{E_z}{c} & -\frac{E_y}{c} \\ B_y & -\frac{E_z}{c} & 0 & \frac{E_x}{c} \\ B_z & \frac{E_y}{c} & -\frac{E_x}{c} & 0 \\ \end{pmatrix}$ .

Differentialformen ermöglichen eine besonders übersichtliche Darstellung der Maxwellgleichungen, die zudem automatisch kovariant ist, wenn man von Anfang an nicht im euklidischen Raum, sondern im Minkowski-Raum arbeitet. Dabei werden Viererpotential und Viererstromdichte durch die 1-Formen $\mathbf A$ und $\mathbf j$ dargestellt, der Feldstärketensor durch die 2-Form $\mathbf F=\mathrm d\mathbf A$ und sein Dual durch die 2-Form $*\mathbf{F}$ (das Symbol $d$ steht bei Differentialformen für eine formale Ableitung und nicht etwa für ein unendlich kleines Differential). Die Maxwellgleichungen im Vakuum lauten dann (in Heaviside-Lorentz-Einheiten) $*\mathrm d*\mathbf{F}=\mathbf j$ und $\mathrm d\mathbf F=0$ .

[Bearbeiten] Maxwellgleichungen unter Berücksichtigung hypothetischer, magnetischer Monopole

Magnetische Monopole treten in einigen GUT-Theorien als mögliche oder notwendige Bestandteile auf. Mit ihnen ließe sich die Quantelung der elektrischen Ladung erklären, wie Paul Dirac schon 1931 erkannte. Bislang ist allerdings kein magnetischer Monopol beobachtet worden. Daher wird in den oben genannten Maxwellgleichungen auch angenommen, dass keine magnetischen Monopole (magnetische Ladungen) existieren.

Sollten in der Zukunft dennoch solche magnetischen Ladungen gefunden werden, so lassen sich diese in den Maxwellgleichungen problemlos berücksichtigen.

Setzt man $ρ m$ für die Monopolladungsdichte, $\boldsymbol{j}_m=\rho_m \boldsymbol{v}_m$ für die Stromdichte und $\boldsymbol{v}_m$ für die Geschwindigkeit der sich bewegenden magnetischen Monopolladungen, so ändern sich nur zwei der vier oben genannten Gleichungen in differentieller Form zu

$\mbox{div}\,\boldsymbol{B}=\rho_m$

Interpretation: Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte beginnen und enden in einer magnetischen Ladung.

$\mbox{rot}\,\boldsymbol{E}=-\left(\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{j}_m\right)$

Interpretation: Sich zeitlich ändernde magnetische Flussdichten oder das Vorhandensein von magnetischen Stromdichten führen zu elektrischen Wirbelfeldern.

Die anderen beiden Gleichungen bleiben unverändert, während sich aber natürlich für die beiden neuen differentiellen (d. h. lokalen) Gleichungen auch neue integrale (d. h. globalen) Darstellungen ergeben, die aber ohne weiteres mit den Integralsätzen von Gauß und Stokes berechnet werden können.

Der Fall der verschwindenden Monopole $ρ m = 0$ führt wieder auf die bekannten, oben angegebenen Gleichungen zurück.

[Bearbeiten] Maxwellsche Gleichungen und Photonmasse

Die Photonmasse verschwindet gemäß der Maxwellschen Gleichungen. Diese Gleichungen sind der Grenzfall $m = 0$ der allgemeineren Maxwell-Proca-Gleichungen mit einer nicht negativen Photonmasse $m$ . Statt des Coulomb-Potentials ${}_{\frac{q}{r}}$ bewirkt in der Maxwell-Proca-Theorie eine elektrische Punktladung $q$ das Yukawa-Potential ${}_{\frac{q}{r}\,\mathrm e^{-m\,r}}$ und hat nur noch eine Reichweite von etwa der Compton-Wellenlänge, die zu $m$ gehört.

[Bearbeiten] Literatur

Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Springer-Verlag Berlin 2002, ISBN 3-540-42018-5
U. Krey, A. Owen: Basic Theoretical Physics – A Concise Overwiew, Springer-Verlag Berlin 2007, ISBN 978-3-540-36804-5
G. Lehner: Elektromagnetische Feldtheorie, Springer Verlang Berlin 2006, ISBN 978-3-540-26550-4

[Bearbeiten] Referenzen

↑ ^a ^b ^c James Clerk Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Royal Society Transactions 155, 1865, Seiten 459–512
↑ ^a ^b James Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity & Magnetism, Dover Publications, New York 1873, ISBN 0-486-60636-8 und ISBN 0-486-60637-6
↑ Oliver Heaviside, On the Forces, Stresses and Fluxes of Energy in the Electromagnetic Field, Philosophical Transactions of the Royal Society 183A, 1892, Seite 423
↑ E. B. Wilson, Vector Analysis of Josiah Willard Gibbs – The History of a Great Mind, Charles Scribner’s Sons New York, 1901
↑ Albert Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik und Chemie 17, 30. Juni 1905, Seiten 891-921
↑ Yakir Aharonov, David Bohm; „Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory, Physical Review 115/3, 1959
↑ Thomas E. Phillipps Jr., On Hertz’s Invariant Form of Maxwell’s Equations, Physics Essays 6/2, 1993, Seiten 249-256
↑ ^a ^b Rainer W. Kühne, A Model of Magnetic Monopoles, Modern Physics Letters A 12/40, 1997, Seiten 3153-3159

[Bearbeiten] Weblinks

Wikiversity: Maxwell-Einführung – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

Strukturierte, kompakte Zusammenstellung der Maxwell-Gleichungen (PDF-Datei)

Kategorien: Theoretische Elektrotechnik | Elektrodynamik | Partielle Differentialgleichungen

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