Maxwell-egyenletek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Elektromágnesség
Elektromosság Mágnesség
Elektrosztatika
Coulomb-törvény Elektromos mező Elektromos töltés Gauss-törvény Villamos potenciál
Magnetosztatika
Ampère-törvény Elektromos áram Mágneses mező Mágneses momentum
Elektrodinamika
Elektromos erő Elektromágneses indukció Elektromágneses sugárzás Faraday–Lenz-törvény Lorentz-törvény Maxwell-egyenletek Mágneses erő
Elektromos áramkörök
Elektromos ellenállás Elektromos indukció Elektromos kapacitás Elektromos vezetés Hullámtan Impedancia Rezgőkörök

Maxwell-egyenletek négy egyenlet, melyet James Clerk Maxwell állított fel, hogy leírja mind az elektromos, mind a mágneses tér viselkedését, valamint kölcsönhatásukat az anyaggal.

[szerkesztés] Az egyenletek összegzése

Maxwell négy egyenlete a következőket írja le,

1. Az elektromos tér divergenciája forrásos, azaz elektromos töltés jelenlétében erővonalak indulnak a pozitív töltésekről, melyek a negatív töltéseken végződnek. (Gauss-törvény)
2. A mágneses tér divergenciája forrásmentes, azaz a mágneses tér erővonalai önmagukba záródnak. (Gauss mágneses törvénye),
3. A mágneses indukció változása elektromos teret indukál, melynek iránya ellenkező mint az őt létehozó változás. (A Lenz-törvény és Faraday indukciós törvényének egyesítése)
4. az elektromos áram, illetve a folytonossági egyenlet kielégítéséből adódó eltolási áram mágneses teret hoz létre. (Ampère-törvény)

A Maxwell-egyenleteknek két formája van: ezek a mikroszkopikus és a makroszkopikus egyenletek. A mikroszkopikus egyenletek alapvető mennyiségei $\mathbf{E}$ elektromos térerősség és $\mathbf{B}$ mágneses indukció. A makroszkopikus egyenletek a mikroszkopikus egyenletek átlagolásával adódnak. Az alapvető makroszkopikus mennyiségek $\mathbf{E}$ elektromos térerősség, $\mathbf{D}$ elektromos indukció, $\mathbf{B}$ mágneses indukció és $\mathbf{H}$ mágneses térerősség. Bebizonyítható, hogy az átlagolás konkrét formája nem befolyásolja az egyenletek alakját.

A makroszkopikus egyenletek SI mértékegységrendszerben:

Megnevezés	Sorszám	Differenciális alak	Integrális alak
Gauss-törvény	I.	$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$	$\oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho \cdot dV = {Q}$
Faraday-Lenz-törvény	II.	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint_L \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt } \int_A \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$
Gauss mágneses törvénye	III.	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\oint_A \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$
Ampère-törvény	IV.	$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$	$\oint_L \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_A \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} + {d \over dt} \int_A \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}$

A mikroszkopikus egyenletek SI mértékegységrendszerben:

Megnevezés	Sorszám	Differenciális alak	Integrális alak
Gauss-törvény	I.	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$	$\oint_A \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} \cdot dV = \frac{{Q}}{\epsilon_0}$
Faraday-Lenz-törvény	II.	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint_L \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt } \int_A \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$
Gauss mágneses törvénye	III.	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\oint_A \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$
Ampère-törvény	IV.	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$	$\oint_L \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0\int_A \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +\frac{1}{c^2} {d \over dt} \int_A \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A}$

Fenti táblázatokban a divergenciás egyenletekből adódó Gauss-típusú integrálok zárt felületeken értendőek. A rotációs egyenletekből adódó integrálok közül a vonalintegrálokat zárt hurkon kell kiszámítani, az egyenletek folytatásaként adódó felületi integrálok pedig ezen hurokra illeszkedő nyílt szájú zsákfelületre vonatkoznak.

A differenciális egyenletek matematikai szempontból többváltozós, lineáris, csatolt parciális differenciálegyenlet rendszert alkotnak, így megoldásukhoz meg kell adni a kezdőfeltételeket és a peremfeltételeket. A divergenciás egyenletek kezdőfeltétel jellegűek: ha fennállnak az elektrodinamikai mozgás kezdetekor, akkor később is érvényesülnek, egyfajta kényszert rónak az elektrodinamikai rendszer időfejlődésére.

A Maxwell-egyenletek megengedik azt is, hogy a megoldás esetleg ugrásszerűen változzon bizonyos felületeken. Ebben az esetben a minden egyes tartományban megoldják a differenciális egyenleteket, majd a tartományok határán az egyes megoldásokat az ún. határfeltételekkel illesztik.

Határfeltételek mikroszkopikus egyenletek esetében:

1. Az elektromos térerősség érintőirányú komponenese folytonosan megy át a határfelületen: $\mathbf{n}\times(\mathbf{E}_{1}-\mathbf{E}_{2})=0$
2. Az elektoromos térerősség normális komponenese ugrik, ha a felületen töltéseloszlás van jelen: $\mathbf{n}\cdot(\mathbf{E}_{2}-\mathbf{E}_{1})=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$
3. A mágneses indukció értintőirányú komponense ugrik, ha a felületen felületi áram van jelen: $\mathbf{n}\times(\mathbf{B}_{2}-\mathbf{B}_{1})=\mu_0\mathbf{j}$
4. A mágneses indukció normális komponense folytonosan megy át a felületen: $\mathbf{n}\cdot(\mathbf{B}_{1}-\mathbf{B}_{2})=0$

Határfeltételek makroszkopikus egyenletek esetében:

1. Az elektromos térerősség érintőirányú komponenese folytonosan megy át a határfelületen: $\mathbf{n}\times(\mathbf{E}_{1}-\mathbf{E}_{2})=0$
2. Az elektoromos indukció normális komponenese ugrik, ha a felületen szabad töltéseloszlás van jelen: $\mathbf{n}\cdot(\mathbf{D}_{2}-\mathbf{D}_{1})=\sigma_{sz}$
3. A mágneses térerősség értintőirányú komponense ugrik, ha a felületen szabad felületi áram van jelen: $\mathbf{n}\times(\mathbf{H}_{2}-\mathbf{H}_{1})=\mathbf{j}_{sz}$
4. A mágneses indukció normális komponense folytonosan megy át a felületen: $\mathbf{n}\cdot(\mathbf{B}_{1}-\mathbf{B}_{2})=0$

A következő táblázat megadja meg az egyenletekben szereplő mennyiségek nevét és mértékegységét SI mértékegységrendszerben.

Jelölés	Név	SI mértékegység
$\mathbf{E}$	elektromos térerősség	volt per méter: $\frac{V}{m}$
$\mathbf{H}$	mágneses térerősség	amper per méter: $\frac{A}{m}$
$\mathbf{D}$	elektromos indukció	amperszekundum per négyzetméter: $\frac{A\cdot s}{m^2}$
$\mathbf{B}$	mágneses indukció	Voltszekundum per négyzetméter vagy tesla: $\frac{V\cdot s}{m^2} =T$
$\ {Q} \$	elektromos töltés	amperszekundum vagy coulomb: $A\cdot s=C$
$\mathbf{J}$	áramsűrűség	amper per négyzetméter: $\frac{A}{m^2}$
$\ \rho \$	elektromos töltéssűrűség	coulomb per köbméter: $\frac{C}{m^3}$

[szerkesztés] A Maxwell-egyenletek kovariáns alakja

Ez a szakasz még csonk. Segíts te is a kibővítésében!

A klasszikus mechanika szimmetricsoportja az ún. Galilei-csoport: minden egyenletének alakja és a benne szereplő konstansok invariánsak a csoport elemei, mint transzformációk hatására. A Maxwell-egyenletek szimmetriacsoportja nem a Galilei-csoport. Ennek a ténynek a szemléltetésére általában a vákuumbeli síkhullámmegoldásokat hozzák fel. Vákuumban a mikroszkopikus egyenletek a

$\nabla \cdot \mathbf{E}= 0$

$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$

$\nabla \times \mathbf{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

alakot veszik fel. Ezek átalakításával adódnak az E-re és a B-re vonatkozó hullámegyenletek:

$\Delta \mathbf{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0,$

$\Delta \mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0,$

ahol $Δ$ a Laplace-operátor. Az egyenletek legegyszerűbb megoldásai a síkhullámok:

$\mathbf{E(x},t)=\mathbf{E}_0e^{i(\mathbf{kx}+\omega t)},$

$\mathbf{B(x},t)=\mathbf{B}_0e^{i(\mathbf{kx}+\omega t)},$

ahol E₀ és B₀ konstans vektormezők, k valós vektor-, ω pedig valós számparaméter. Ezek akkor elégítik ki az üres tér egyenleteit, ha fennállnak az

$\mathbf{E}_0\cdot \mathbf{k}=0,$

$\mathbf{B}_0\cdot \mathbf{k}=0,$

$\mathbf{B}_0\times \mathbf{k}=\frac{\omega}{c^2}\mathbf{E}_0,$

algebrai egyenletek. A hullámszámvektor (k) és a hullám körfrekvenciája (ω) között az alábbi összefüggések érvényesek:

$k=|\mathbf{k}|= \frac{\omega}{c}=\frac{2\pi}{Tc}=\frac{1}{\lambda}.$

$λ$ a hullám hullámhossza, $T$ a hullám periódusideje. A hullám fázissebessége:

$v_f=\frac{d\omega}{dk}=c,$

melyet fénysebességnek hívunk. A hullám csoportsebessége:

$\frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}=c\frac{\mathbf{k}}{k}.$

A fentiekből kitűnik, hogy a hullám diszperziós relációja

$\omega^2=c^2\mathbf{k}^2,$

ami a lehető legegyszerűbb diszperziós reláció. A hullám $c$ fázissebessége sebesség dimenziójú, (jelenlegi tudásunk szerint) mérhető mennyiség, ennélfogva egy speciális (a térbeli forgatásokat és az idő- és térbeli eltolásokat, valamint skálatranszformációkat nem tartalmazó) Galilei-transzformáció során sebesség módjára transzformálódik: ha $\mathcal{K}\ (\mathbf{x},t)$ koordinátáit és $\mathcal{K'}\ (\mathbf{x}',t')$ koordinátáit a

$\mathbf{x}'=\mathbf{x}-\mathbf{V}t,\quad t'=t$

transzformációs képletek kapcsolják össze, akkor a

$\mathbf{c}=c\frac{\mathbf{k}}{k}$

csoportsebesség transzformációja:

$\mathbf{c}'=\mathbf{c}-\mathbf{V}$ ,

aminek normája pedig:

$c'=\sqrt{c^2-2\cdot\mathbf{c\cdot V}+V^2}.$

Ha feltesszük, hogy a Galilei-csoportot alkotó transzformációk meghagyják az egyenletek alakját és a benne szereplő konstansokat, akkor a hullámegyenletek alakja $\mathcal{K'}$ rendszerben

$\Delta' \mathbf{E}'-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}'}{\partial t'^2}=0,$

$\Delta' \mathbf{B}'-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{B}'}{\partial t'^2}=0,$

ahol $Δ'$ a vesszős koordinátákra vonatkozó Laplace-operátor. Az egyenletek megoldásai most is síkhullámok:

$\mathbf{E'(x'},t')=\mathbf{E'}_0e^{i(\mathbf{k'x'}+\omega' t')},$

$\mathbf{B'(x'},t')=\mathbf{B'}_0e^{i(\mathbf{k'x'}+\omega' t')},$

ugyanakkor $c$ állandó volta miatt a fázissebesség most is

v f' = c' = c .

Az előzőekben közölt számítások szerint azonban

$c'=\sqrt{c^2-2\cdot\mathbf{c\cdot V}+V^2}=c,$

ami csak a legritkább esetben teljesül, tehát ellentmondás lépett fel.

Ha felírjuk a kontinuitási egyenletet:

$\nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \rho \over \partial t} = 0,\,$

ahol a $\rho\,$ a térfogati töltéssűrűséget jelenti. Kisebb átalakítások után a következő formára jutunk:

${\partial \mathbf{J}_x \over \partial x} + {\partial \mathbf{J}_y \over \partial y} + {\partial \mathbf{J}_z \over \partial z} + {\partial c\rho \over \partial c t} = 0,\,$

Ez a $j μ$ négyesvektor divergenciája $j^\mu = (\mathbf{J},c\rho)$

Így a töltésmegmaradás törvényének kovariáns alakja a:

${\partial j^\mu \over \partial x^\mu}=0$

A Lorentz-feltételt (ami a vektor- és skalárpotenciált kapcsolja össze):

$div \mathbf{A} + \frac{1}{c^2}{\partial \Phi \over \partial t} = 0$

átírhatjuk a következő formába

${\partial \mathbf{A}_x \over \partial x} + {\partial \mathbf{A}_y \over \partial y} + {\partial \mathbf{A}_z \over \partial z} + {\partial \frac{1}{c}\Phi \over \partial c t} = 0,\,$

Ennek alapján képezzük a négyespotenciált:

$A^\mu = (\mathbf{A},\frac{1}{c}\Phi)$

Így a Lorentz-feltétel kovariáns alakja:

${\partial A^\mu \over \partial x^\mu}=0$

[szerkesztés] Az egyenletek története

Maxwell 1864-ben először írta fel a négy törvényt együtt, és észrevette, hogy az Ampere-törvény módosításra szorul: a változó elektromos mező ugyanúgy viselkedik, mint az áram, ugyanúgy létrehoz mágneses teret. Ezen tag figyelembe vételével az egyenletekből következik a töltésmegmaradás, ami egy máig alapvetőnek gondolt megmaradási tétel.

Maxwell megmutatta, hogy az egyenletek szerint (ha módosítását figyelembe vesszük) létrejöhetnek elektromágneses hullámok, olyan hullámok, melyekben az oszcilláló elektromos és mágneses mező halad (mai tudásunk szerint) vákuumban . Az akkor elérhető adatokat felhasználva a hullámok terjedési sebességet Maxwell 310 740 000 m/s nagyságúnak számította ki. Maxwell (1865) ezt írta:

Ez a sebesség olyan közel esik a fényéhez, hogy erős okunk van feltételezni, hogy a fény maga (beleértve a hősugárzást és a többi sugárzást ha létezik) elektromágneses zavar, mely hullám formájában terjed az elektromágneses térben az elektromágnesesség törvényei szerint.

Maxwell következtetése helyes volt, de nem érhette meg annak Heinrich Hertz által elvégzett 1888-as igazolását. A fény mennyiségi értelmezése elelktromágneses hullámként, melyet Maxwell tett meg, a 19. századi fizika egyik nagy diadala. Valójában Michael Faraday hasonló képet festett a fényről 1846-ban, de nem volt képes annak mennyiségi leírását adni, sebességét megjósolni. A maxwelli elektrodinamika felfedezése nagy hatással volt a fizikára, olyan új elméletek csíráztak ki belőle, mint például a speciális relativitáselmélet. Az elektrodinamika kvantált elmélete, a relativisztikus kvantumelektrodinamika a mai fizikai elméletek legpontosabbika. Számos gyakorlati felhasználása gazdagítja mindennapi életünket a mikrohullámú sütőtől a lézerkésen át egészen a modern távközlési rendszerekig.

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Kategória: Elektrodinamika

Rejtett kategóriák: Szakaszcsonkok | Csonkok 2005 márciusából

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Maxwell-egyenletek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Az egyenletek összegzése

[szerkesztés] A Maxwell-egyenletek kovariáns alakja

[szerkesztés] Az egyenletek története

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Views

Navigáció

részvétel

Keresés

Más nyelveken