Maxwells likninger

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Maxwells likninger er fire likninger, samlet av James Clerk Maxwell i 1865, som er grunnlaget for all klassisk elektromagnetisme. De beskriver og forklarer sammenhengen mellom elektriske- og magnetiske felter og hvordan disse forholder seg til materie.

Maxwells fire likninger er

Gauss' lov, som sier hvordan ladning skaper elektriske felter
Det finnes ingen magnetiske monopoler
Ampères lov (med viktig tillegg fra Maxwell) som sier hvordan strøm produserer magnetiske felt
Faradays induksjonslov, som sier hvordan endring av magnetiske felt skaper elektriske felt

Maxwells likninger har som konsekvens at lys er elektromagnetiske bølger som beveger seg med konstant fart (lysfarten). Likningene er Lorentz-invariante og kompatible med både spesiell- og generell relativitetsteori. På atomnivå gjelder ikke likningene lenger og de må erstattes med kvanteelektrodynamikk.

[rediger] Matematisk formulering

Matematisk sett er Maxwells likninger partielle differensiallikninger og kan skrives både på differensialform og integralform. I tillegg til de fire likningene trengs også to materiallover som er spesifikke for materialene en studerer.

Navn	Differensialform	Integralform
Gauss' lov	$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$	$\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho dV$
Gauss' lov for magnetisme (fravær av magnetiske monopoler)	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$
Faradays induksjonslov	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt } \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$
Ampères lov (med Maxwells tillegg)	$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$	$\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} + {d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}$

hvor betydningen av hvert symbol i SI-enheter er i tabellen under:

Symbol	Mening	SI-enhet
$\mathbf{E}$	elektrisk felt også kalt elektrisk feltstyrke	volt per meter
$\mathbf{H}$	magnetisk felt også kalt magnetisk feltstyrke	ampere per meter
$\mathbf{D}$	dielektrisk forskyvning også kalt elektrisk flukstetthet	coulomb per kvadratmeter
$\mathbf{B}$	magnetisk flukstetthet også kalt magnetisk induksjon også kalt magnetisk felt	tesla, eller ekvivalent, weber per kvadratmeter
$\ \rho \$	fri elektrisk ladningstetthet, ikke inkludert dipollading bundet i et materiale	coulomb per kubikkmeter
$\mathbf{J}$	fri strømtetthet, ikke inkludert polarisasjon eller magnetiseringsstrømmer bundet i et materiale	ampere per kvadratmeter
$d\mathbf{A}$	differensielt vektorelement av overflateareal A, med infinitdesimal liten størrelse og retning normal til overflate S	kvadratmeter
$dV \$	differensialelement av volum V innesluttet av overflate S	kubikkmeter
$d \mathbf{l}$	differensialelement av vektor med kurvelengde tangensielt til kurven C som inneslutter overflate S	meter
$\nabla \cdot$	divergensoperator	per meter
$\nabla \times$	rotasjonsoperator	per meter

[rediger] Materiallover

Maxwells likninger kan ikke løses uten to tilleggsbetingelser som beskriver materialet. Disse kommer i form av polarisasjonstetthet P (måles i coulomb per kvadratmeter) og magnetiseringstetthet M (måles i ampere per meter).

$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$