Maxwells ligninger

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Maxwells ligninger (også kendt som Maxwells love) er fire ligninger som tilsammen danner basis for elektromagnetismen. De beskriver sammenhængen mellem elektriske og magnetiske felter, ladninger og elektrisk strøm. Ligningerne er opkaldt efter James Clerk Maxwell, som var den første der samlede ligningerne til et hele og korrigerede Ampères lov. Samtidig postulerede han (korrekt, skulle det vise sig) eksistensen af elektromagnetiske bølger, og at lys, varmestråling mm. var elektromagnetiske bølger.

Indholdsfortegnelse

1 Ligningerne

[redigér] Ligningerne

[redigér] Gauss' lov

Gauss' lov udtrykker sammenhængen mellem elektrisk ladning og elektrisk felt. Man kan jvf. integralformen sige at det samlede elektriske felt gennem en lukket flade er lig den samlede ladning inden i det volumen der omsluttes af den lukkede flade. Matematisk udtrykkes dette:

$\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho dV$

I matematisk terminologi er integralet af D-feltet over en lukket flade lig volumenintegralet af den omsluttede ladning; eller ækvivalent (fra differentialformen) er divergensen af D-feltet lig ladningen. Coulombs lov, der beskriver det elektriske felt fra elektriske ladninger, kan udledes af Gauss' lov.

Loven kan illustreres ved at forestille sig en gammeldags glødepære: Det lys der strømmer ud gennem glasset i pæren må svare til hvor kraftig en lyskilde der er inden i glasset.

[redigér] Gauss' lov for magnetisme

Gauss' lov for magnetisme udtrykker tilsvarende en sammenhæng for et magnetisk felt. Da der imidlertid (så vidt vides) ikke findes magnetiske monopoler, er den del der svarer til den elektriske ladning i Gauss' lov lig nul. Man kan jvf. integralformen sige at det samlede elektriske felt gennem en lukket flade er lig den samlede ladning inden i det volumen der omsluttes af den lukkede flade. Matematisk udtrykkes dette:

$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$

I matematisk terminologi er integralet af B-feltet over en lukket flade lig nul; B-feltet siges også at være divergensfrit.

I billedet med den gammeldags glødepære er pæren altid slukket; dvs. alt lys er kommer ind gennem glasset kommer også ud igen, og bidragene "ind" og "ud" går lige op.

[redigér] Faradays lov

Faradays lov fastlægger sammenhængen mellem det elektriske felt og det magnetiske felt. Loven beskriver hvordan et elektrisk felt rundt i en lukket sløjfe (f.eks. et stykke ledning) giver anledning til en magnetisk flux gennem kredsløbet. Sammenhængen virker også den modsatte vej (induktion): hvis den magnetiske flux gennem en sløjfen ændrer sig, giver det anledning til et magnetisk felt. Matematisk udtrykkes dette:

$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{s} = - \ { d \over dt } \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$

I matematisk terminologi er integralet af E-feltet over en lukket kurve lig den tidslige ændring af B-feltets flux gennem et plan der har kurven som rand.

Faradays lov er basis for alle fænomener der beror på induktion, f.eks. transformatorer: Opbygges en spænding i den ene spole, skabes et magnetfelt der giver en spænding i den anden spole.

[redigér] Ampères lov

Ampères lov giver relationen mellem elektrisk strøm og magnetisk felt: Den magnetiske feltstyrke H summeret op (integreret) over en lukket kurve giver strømmen gennem den lukkede kurve. Maxwell indså at denne formulering ikke var komplet, og tilføjede et led der viser at ændringer i det elektriske forskydningsfelt D også giver anledning til et magnetfelt. Matematisk udtrykkes dette:

$\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} + {d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}$

I matematisk terminologi er kurveintegralet af H-feltet over en lukket kurve lig summen af fluxen af strømtætheden og den tidsafledede af D-feltet gennem et plan der har kurven som rand.

[redigér] Samlet

Samlet udtrykkes Maxwell's fire ligninger på vektorform på følgende måde:

Navn	Differentialform	Integralform
Gauss' lov:	$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$	$\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho dV$
Gauss' lov for magnetisme (i fravær af magnetiske monopoler):	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$
Faradays lov:	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{s} = - \ { d \over dt } \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$
Ampères lov (med Maxwells udvidelse):	$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$	$\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} + {d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}$

– hvor den nedenstående tabel forklarer de enkelte symboler og giver SI-enheden for hver enkelt (vektorstørrelser er med fed skrift, skalarer i kursiv):

Symbol	Betydning	SI-enhed
$\mathbf{E}$	elektrisk feltstyrke	Volt per meter
$\mathbf{H}$	magnetisk feltstyrke	Ampere per meter
$\mathbf{D}$	elektrisk forskydningsfelt også kaldet elektrisk fluxtæthed	Coulomb pr. kvadratmeter
$\mathbf{B}$	Magnetisk fluxtæthed	Tesla eller Weber pr. kvadratmeter
$\ \rho \$	fri elektrisk ladningstæthed, uden elektriske dipoler bundet i et materiale	Coulomb pr. kubikmeter
$\mathbf{J}$	fri strømtæthed, uden polarisations- og magnetiseringsstrømme bundet i et materiale	Ampere pr. kvadratmeter
$d\mathbf{A}$	differentielt vektorelement af en overflade A, med infinitesimal størrelse og retning normal til overfladen S	kvadratmeter
$dV \$	differentielt volumenelement af volumenet V omsluttet af fladen S i samme ligning	kubikmeter
$d \mathbf{l}$	differentielt vektorelement af en kurve C, der omslutter fladen S i samme ligning	meter
$\nabla \cdot$	Divergens (operator)	pr. meter
$\nabla \times$	Rotation (operator)	pr. meter