Hysterese

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Hysterese, auch Hysteresis (griech.: hysteros = hinterher) charakterisiert ein System, dessen Ausgangsgröße nicht allein von der Art der Eingangsgröße abhängig ist, sondern auch von der Geschichte, welche die Eingangsgröße hatte. Das System beweist dadurch Pfadabhängigkeit.

Der Ausdruck Hysteresis entstammt dem altgriechischen Wort υστέρησις (Defizienz), das von Sir James Alfred Ewing geprägt wurde.

Hysterese tritt bei vielen natürlichen, wissenschaftlichen und technischen Vorgängen und Regelungsvorgängen auf, auch der Zweipunktregler ist ein typisches Beispiel.
In der grafischen Darstellung wird die Ursache (Eingangsgröße) meistens auf einer horizontalen Achse aufgetragen, die Wirkung (Ausgangsgröße) auf der vertikalen Achse; die Kurve wird damit stets in Gegenuhrzeigerrichtung durchlaufen.

Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele zur Erklärung 1.1 Harte und weiche Hysterese 2 Hysterese-Effekte 2.1 Magnetische Hysterese 2.1.1 Hysteresekurve 2.1.2 Irreversible Magnetisierung 2.2 Weitere Beispiele 2.2.1 Technik 2.2.2 Wirtschaftswissenschaften 2.2.3 Mathematik 2.2.4 Physiologie 3 Siehe auch 4 Literatur/Weblinks/Quellen

[Bearbeiten] Beispiele zur Erklärung

Als Beispiel dient das Ausklappen des Heckspoilers bei einem Porsche 911: Diese „Luftklappe“ soll bei geringen Geschwindigkeit eingefahren und oberhalb von 80 km/h ausgefahren sein, um den Anpressdruck der Hinterräder zu erhöhen. Wenn das Auto in einer Kolonne fährt, deren Geschwindigkeit ständig zwischen 78 km/h und 83 km/h schwankt würde das ständige Ein- und Ausfahren die Spoiler-Mechanik unnötigerweise beanspruchen. Es wird durch ein hysteresebehaftetes Schaltverhalten vermieden. Im nebenstehenden Bild ist die Ursache – die Geschwindigkeit – auf der horizontalen Achse aufgetragen und die beiden Umschaltpunkte für den (Zweipunktregler) festgelegt:

• Oberhalb von 80 km/h wird ausgefahren, oberer Punkt auf der Hysteresekurve.
• Unterhalb von 60 km/h wird eingefahren, unterer Punkt auf der Hysteresekurve.

Auf der senkrechten Achse wird die zugehörige Spoilerstellung markiert.

Der Zustand des Heckspoilers bei den zwischen den Schaltpunkten liegenden Geschwindigkeiten kann an der vertikalen Achse abgelesen werden und hängt von der Geschwindigkeits-Vorgeschichte ab, also von welcher Richtung aus im Bild die Geschwindigkeit auf die Hysteresekurve zuläuft:

• War das Auto vorher schneller, bleibt er ausgefahren, bis das Auto weniger als 60 km/h fährt.
• War das Auto vorher langsamer, bleibt er eingefahren, bis das Auto mehr als 80 km/h fährt.

[Bearbeiten] Harte und weiche Hysterese

Die harte und weiche Hysterese wird im folgenden am Magnetismus erklärt. Die drei Bilder zeigen Hysteresekurven von Transformator-Eisenkernen (siehe auch: Elektroblech). Die Maßstäbe auf den H-Achsen sind bei den Bildern unterschiedlich: Der Punkt G, Hc-Wert, Koerzitivfeldstärke, im oberen Bild, ist auf der H-Achse in einem gedehnteren Maßstab dargestellt gegenüber den beiden unteren Bildern. Außerdem ist zum Beispiel der Hc-Wert bei einem Ringkern viel geringer als bei einem Transformator, der aus gestanzten Blechen, einem EI-Kern, besteht.

Ein einzelner Weiss-Bezirk eines ferromagnetischen Stoffes besitzt eine harte Hysteresekurve mit bistabilem Verhalten – ein Effekt, der in den jungen Jahren der Computertechnik zum Speichern von Bits in einem Kernspeicher verwendet wurde. Bei Ferromagnetismus in einem rechteckigen, ausgestanzten Trafoblech, liegen diese Weissschen Bezirke zwar in der Walzrichtung des Ausgangsbleches, aber nur in zwei Schenkeln günstig zur Magnetfeldrichtung. Weil der Magnetfluss jedoch auch durch Schenkel laufen muss, bei denen die Orientierung der Weisschen Bezirke nicht in Magnetflussrichtung liegt, gibt es eine Gesamtsumme von Millionen „Schaltern“ (Weiss-Bezirken), die sich in ihrer Orientierung zur Magnetffeldrichtung voneinander unterscheiden. Die Summe aller dieser Rechteckhysteresekurven ist die „weiche“ Hysteresekurve im Bild in der Mitte rechts. Bei einem Ringkerntransformator dagegen, liegt die Orientierung aller Weissschen Bezirke in Magnetflussrichtung, was eine harte (Gesamt-)Hysteresekurve ergibt. Man spricht deshalb dann von Rechteckkernen. Dabei gibt es – abhängig von der Anzahl der beteiligten Weisschen Bezirke im Verhältnis zum Magnetfluss – besondere Phänomene:

• Nur wenn das Eisenstück entmagnetisiert war, ist der Startpunkt bei A. Das blaue Kurvenstück von A über B nach C heißt auch „jungfräuliche“ Kurve.
• Man kann mit einem Elektromagneten bis zum Punkt B in einer Richtung magnetisieren und dann – nach Umpolen des Elektromagneten – auf der roten Kurve bis zum Punkt M gehen. Dann wurden nur wenige Weiss-Bezirke in ihrer Orientierung geändert. Der vertikale Abstand zur horizontalen Achse, gibt an, wie viele Bezirke beeinflusst wurden. Er sagt etwas über die Flussdichte aus.
• Man kann auch von A bis C oder bis D oder bis E gehen – das hängt davon ab, wie stark der Elektromagnet ist. Zwischen C und E sind alle Weiss-Bezirke parallel orientiert, dann spricht man von Sättigung. Eine weitere Erhöhung des Spulenstromes verstärkt nur noch unwesentlich den Magnetischer Fluss im Eisen.
• Wenn der Elektromagnet abgeschaltet wird, gelangt man zurück bis F. Ob F genauso hoch liegt wie C oder schon ein wenig oder sogar viel tiefer, hängt von der Remanenz ab. Diese ist von der Bauform, u. a. vom (Rest)Luftspalt abhängig.
• Polt man den Elektromagneten um und erhöht langsam den Strom, gelang man zum Punkt G. Das Eisenstück ist entmagnetisiert worden, solange das Gegenfeld anliegt. Dazu musste die Koerzitivfeldstärke des Elektromagneten überwunden werden. Nach dem Ausschalten des Gegenfeldes läuft die Magnetisierung wie eine elastische Feder wieder auf den vorigen Wert. Zum Nullpunkt A gelangt man nur, wenn man die Aussteuerung der Hysteresekurve in kleinen Schritten oder kontinuierlich, durch ein sich ständig umpolendes und kleiner werdendes Gegenfeld verkleinert (Entmagnetisierung).

[Bearbeiten] Hysterese-Effekte

[Bearbeiten] Magnetische Hysterese

Beim Durchfahren der Hysteresekurve entsteht Wärmeenergie (Ummagnetisierungsverluste), deren Wert proportional mit der umfahrenen Fläche steigt. Ursache ist das Umklappen einzelner Weiss-Bezirke. Anschaulich gesprochen:

• Je stärker sie in ihrer Richtung festgehalten werden (rechteckige Kurve, magnetisch „hartes“ Material), desto schlagartiger ändern sie ihre Orientierung und mehr „Lärm“ entsteht beim Umklappen. Physiker nennen diese Schallwellen Phononen. Sie bringen andere Atome zum „Wackeln“ – das ist Wärme.
• Je leichter sich die Weiss-Bezirke in ihrer Orientierung ändern lassen (schmale Kurve, magnetisch „weiches“ Material), desto weniger Lärm entsteht und desto weniger Energie wird dazu benötigt.

Bei den früher üblichen Kernspeichern der Computer wurden Speicherringe, die häufig ihren Zustand wechselten, warm und reagierten anders auf die Stromimpulse als Speicherringe, die selten angesprochen wurden. Abhilfe war eine kräftige Umwälzung der Luft, damit alle Kerne möglichst gleiche Temperatur hatten.

[Bearbeiten] Hysteresekurve

Magnetische Hysterese tritt bei ferromagnetischen, magnetisch leitfähigen Stoffen wie Eisen, Kobalt und Nickel und deren Legierungen auf. Der Hysteresevorgang lässt sich gut am Verlauf der Hysteresekurve oder Hystereseschleife verdeutlichen. In dieser Kurve wird die magnetische Flussdichte (B) in einem ferromagnetischen Stoff über der Stärke eines den Stoff umgebenden Magnetfeldes (H) aufgetragen. Der Verlauf und die Form einer Hysteresekurve wird nicht nur durch das Material des Magnetfeldleiters, wie zum Beispiel Verlustarmut, Kornorientierung und deren Ausrichtung zu den Feldlinien, sondern auch stark durch seine Bauform, vor allem mit oder ohne Luftspalte beeinflusst.

Zu Beginn einer Magnetisierung sind sowohl die Magnetisierung des Stoffes als auch die Feldstärke des Magnetfeldes Null.

Wird über eine Stromeinspeisung in eine den Kern umschließenden Spule, H erhöht, so steigt B nichtlinear zuerst stark, dann immer schwächer an, bis es ein Maximum (Sättigungsmagnetisierung) erreicht (siehe die blaue sog. Neukurve in nebenstehender Abbildung). Wird H weiter erhöht, steigt B wegen der Sättigung von B nur noch sehr geringfügig an. Wird H nun wieder auf Null gesenkt, geht B nicht auf Null zurück, sondern nur bis zur sogenannten Remanenz B_R.

Um den Stoff wieder zu entmagnetisieren, muss ein entgegengesetztes Magnetfeld mit der Koerzitivfeldstärke − H_C aufgebaut werden. Die vollständige Entmagnetisierung gelingt jedoch nicht in einem Schritt. Ein erneutes Umkehren der Feldstärke von H führt dazu, dass der untere Ast der Hysteresekurve durchlaufen wird. Ein vollständiges Durchlaufen der Hysteresekurve wird als Hysteresezyklus bezeichnet. Siehe auch unter Einschaltvorgang, Hysteresekurve im Transformator-Kern.

Nur ein in der Amplitude abklingendes magnetisches Wechselfeld führt durch die allmähliche Annäherung der Hysteresezyklen an den Nullpunkt zur vollständigen Entmagnetisierung.

In vielen Anwendungen werden kleine Hysteresezyklen um Punkte in der B-H-Fläche gefahren; siehe auch Kleinsignalverhalten. Aufgrund der von der Magnetisierung abhängigen Permeabilität weisen Zyklen nahe dem Ursprung eine höhere Permeabilität auf. Je kleiner die Schleifen ausgesteuert werden, umso hartmagnetisch ähnlicher (länglicher), bzw. senkrechtstehender verlaufen sie.

Wichtig ist die Hysterese-Eigenschaft beispielsweise in der Audiotechnik bei der Aufnahme auf Tonband (siehe Tonband, Vormagnetisierung).

Aber auch für die Berechnung und das Verständnis von Transformatoren ist die Kenntnis der jeweiligen Hysteresekurve des Eisenkernes wichtig.

[Bearbeiten] Irreversible Magnetisierung

Die Ursache für die irreversible Magnetisierung liegt in der Beschaffenheit ferromagnetischer Stoffe. In ferromagnetischen Stoffen existieren sogenannte Weiss-Bezirke. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Spins der Elektronen, die als Elementarmagnete aufgefasst werden können, innerhalb eines Bezirks parallel zueinander sind. Die Grenzen zwischen den Bezirken heißen Bloch-Wände. Wird nun ein äußeres Magnetfeld angelegt, so wachsen die Bezirke, deren Orientierung der Ausrichtung des Magnetfeldes entspricht, auf Kosten der anderen Bezirke, indem Elektronen in den anderen Bezirken „umklappen“, sich also parallel zum Magnetfeld ausrichten. Anschaulich entspricht das einer Verschiebung der Bloch-Wände.

Störstellen, die in jedem Ferromagnetikum existieren, (in Eisen z. B. Kohlenstoffeinschlüsse) verhindern jedoch, dass das Verschieben der Bloch-Wände gleichmäßig verläuft. Wenn eine Bloch-Wand beim Verschieben auf eine Störstelle trifft, so bleibt sie zuerst an ihr hängen, und es bildet sich hinter der Störstelle eine Art Blase, in der die Spins der Elektronen noch nicht umklappen. Erst ab einer bestimmten Feldstärke schließt sich diese Blase, was zu einer plötzlichen Änderung der Magnetisierung führt. Dieser Vorgang wird Barkhausen-Sprung genannt. Durch diese ungleichmäßigen Wandverschiebungen wird eine Entmagnetisierung entlang der Neukurve unmöglich. Sie sind der Grund für das Entstehen der Hysteresiskurve.
Wenn alle Elektronenspins im Ferromagnetikum an dem Feld ausgerichtet sind, ist die Sättigung erreicht. Wird nun das äußere Feld entfernt, kehren nicht alle Elektronen zur ursprünglichen Ausrichtung zurück. Die Magnetisierung sinkt bis auf das Remanenz-Niveau ab. Erst durch die Zufuhr zusätzlicher Energie kann der Stoff wieder entmagnetisiert werden. Stoffe mit hoher Remanenz sind nicht zwingend hartmagnetisch. Hartmagnetische Stoffe (Dauermagnete) haben eine hohe Koerzitivfeldstärke. Die Remanenz in einem Transformatorkern ist weniger von dem Kernmaterial abhängig, sondern hängt stark von der Bauform des Kernes ab: ein Ringkerntransformator-Kern hat eine sehr hohe Remanenz, weil keinerlei Luftspalte im Magnetkreis liegen. Ein Transformator mit technologisch bedingten Luftspalten hat dagegen durch Scherung, (Neigung), der Hysteresekurve eine geringe Remanenz, obwohl das Kernmaterial selbst eine hohe Remanenz besitzen kann.

Das Integral unter der Hysteresiskurve entspricht der Energie, die im Stoff bei seiner vollständigen Ummagnetisierung in Wärme umgewandelt wird. Dieses Integral sollte im Fall von Speichermedien möglichst hoch sein. Im Fall von Kernen von Transformatoren sollte es möglichst klein sein, um nur geringe Energieverluste zu verursachen. Für andere Zusammenhänge gilt das in ähnlicher Weise. Typisch für die Hysterese ist das Auftreten von bistabilem Verhalten. Bei gleichen Umgebungsbedingungen ist der Zustand von der Vergangenheit, der wirkenden Spannungszeitfläche vor dem Ausschalten abhängig. Entsprechend wird ein bestimmter Punkt im Zustandsdiagramm erreicht.

Unter Berücksichtigung der Form der Hysteresisschleife kann man einen Stoff gezielt aufmagnetisieren. Dieses findet Anwendung bei der Herstellung von Dauermagneten oder beim Beschreiben von magnetischen Speichermedien (Magnetband, Festplatte, Kernspeicher). Im Falle hoher Koerzitivfeldstärken spricht man von magnetisch hartem Material, da zu ihrer Neuorientierung hohe Feldstärken benötigt werden. Bei Speichermedien entspricht dieses einer hohen Datensicherheit, da die geschriebenen Informationen nicht zufällig durch Streufelder umorientiert werden. Bei geringen Koerzitivfeldstärken spricht man von magnetisch weichem Material. Die Bezeichnungen rühren daher, dass reines (also weiches) Eisen im Vergleich zu magnetischen Stählen eher weichmagnetisch ist.

[Bearbeiten] Weitere Beispiele

[Bearbeiten] Technik

• Werkstofftechnik: Das elastisch-plastische Verformungsverhalten eines Werkstoffs unterliegt einer Hysterese. Bei der Auftragung im Spannungs-Dehnungs-Diagramm erhält man eine Hystereseschleife.
• Regelungstechnik: Zweipunktregler besitzen immanent ein Hysterese-Verhalten.
• Logikschaltungen / Interfaces: Schmitt-Trigger sind Schwellwertschalter und erzeugen aus langsam ablaufenden Vorgängen exakte Logiksignale
• Messtechnik: die Umkehrspanne von Zeigerinstrumenten wird auch Hysterese genannt. Sie rührt von mechanischen Ungenauigkeiten der Messgeräte her.
• Hysterese bei Lageregelungen: Ein Servomotor arbeitet z. B. als Aktor in mechanischen Regelkreisen, z. B. bei dem Ruder eines Flugzeugs. Er erzeugt bzw. hält dann einen bestimmten Stellwinkel, und steuert dazu auch gegen äußere Kräfte (wie Turbulenzen) per Soll-Ist-Vergleich. Um Regelschwingungen aufgrund mechanischen Spieles (permanentes, alternierendes Gegensteuern kleinster Abweichungen, Flattern) zu vermeiden, ist eine Hysterese im Regelkreis notwendig. Dazu wird, abhängig von der Genauigkeit der Ist-Sensoren und der mechanischen Präzision, eine verzögerte Reaktion auf eine Sollabweichung konstruiert bzw. programmiert.
• Hysterese bei Herzschrittmacher-Reglern: Herzschrittmacher besitzen ein hysteresebehaftetes Ansprechverhalten. Üblicherweise wird eine bestimmte Interventionsfrequenz („Bedarfsfrequenz“) programmiert, z. B. 60 Schläge pro Minute. Der Schrittmacher greift normalerweise ein, sobald die Pulsfrequenz des Patienten unter die Bedarfsfrequenz abfällt und stimuliert den Sinusknoten mit 60 Impulsen pro Minute. Programmiert man dagegen die Hysteresefunktion, so springt der Schrittmacher erst bei einer tieferen Frequenz (z. B. 50 min⁻¹) ein, stimuliert dann aber mit der Interventionsfrequenz (z. B. 60 min⁻¹).
• Rheologie: Beim Fließverhalten von nicht-newtonschen thixotropen Fluiden wird ebenfalls von Hysterese gesprochen. Dabei ist die Änderung der Viskosität, d. h. die Verringerung der Zähigkeit eines solchen Fluides unter Einfluss eines konstanten Schergradienten, abhängig von der Dauer der Einwirkung. Mit Zunahme der Dauer der Einwirkung durch die Scherung ist der Hystereseeffekt zunehmend irreversibel.

Die Physik kennt drei Formen der Dämpfung, d. h. drei verschiedene Vorgänge, die im Werkstoff ablaufen können und zur Ausbildung einer Verlustschleife führen. Kriechen führt zu Relaxationsvorgängen, die eine dieser drei Formen bilden (Relaxationsdämpfung). Charakteristisch für solche Prozesse ist die Unabhängigkeit der Dämpfung von der Amplitude und die Abhängigkeit von der Frequenz des Eingangssignals. Für beide Enden des Frequenzintervalls hat die Dämpfung den Wert Null. Gleiches gilt für die Resonanzdämpfung. Sie unterscheidet sich von der Relaxationsdämpfung dadurch, dass für die Resonanzfrequenz der dynamische Modul kleiner wird als für alle anderen Frequenzen. Im Gegensatz dazu sind Dämpfung und Modul bei der Hysterese frequenzunabhängig, aber i. a. amplitudenabhängig.

• Schifffahrt: Hier bezeichnet Hysterese die Erscheinung, dass eine Gierbewegung bei einer Änderung des Ruder-Ausschlages bzw. Ruder-Winkels zunächst unverändert anhält, bevor sie dem Ruderausschlag folgt.
• Bei Flüssigkristallen verlaufen Phasenänderungen in Form einer Hysteresekurve.
• Ferroelektrika besitzen ein der magnetischen Hysterese analoges elektrisches Hystereseverhalten

[Bearbeiten] Wirtschaftswissenschaften

In den Wirtschaftswissenschaften spricht man von Persistenz oder Hysterese in Bezug auf beobachtbare Trägheiten auf dem Arbeitsmarkt. Erstens bezeichnet man es als Hysterese, wenn die (z. B. infolge einer Rezession) gestiegene Arbeitslosigkeit auf dem neuen, höheren Niveau verharrt. Hauptsächlicher Grund für diese Form der Arbeitsmarkt-Hysterese ist die so genannte Dequalifikation von Arbeitslosen; d. h. Menschen, die ihren Arbeitsplatz verlieren, profitieren nicht von einer möglichen beruflichen Weiterbildung und verlieren so im Kampf um Arbeitsplätze an Chancen. Als weiterer Grund für eine solche Form der Hysterese wird auch die Nichtberücksichtigung der Arbeitslosenquote bei Lohnverhandlungen angeführt, was nach Ansicht mancher Ökonomen zu überhöhten Lohnabschlüssen führe, was wiederum einen Rückgang der Arbeitslosigkeit verhindere. Zusammen mit der Dequalifikation der Arbeitslosen bilde sich so eine dauerhafte Sockelarbeitslosigkeit.

Arbeitsmarkt-Hysterese ist jedoch auch im umgekehrten Fall einer zurückgegangenen Arbeitslosigkeit zu beobachten: Ist die Arbeitslosigkeit (z. B. durch einen wirtschaftlichen Boom) zurückgegangen, so verbleibt sie auf dem neuen, niedrigeren Niveau, da die neu eingestellten Arbeitskräfte im Rahmen ihrer Tätigkeit schnell hinzulernen, für ihren Arbeitgeber somit auch in wirtschaftlich schlechten Zeiten unverzichtbar werden und schließlich auch unter einem Kündigungsschutz stehen.

Wirtschaftspolitisch bedeutet das Phänomen der Arbeitsmarkt-Hysterese auch, dass eine Qualifikation Arbeitsloser ein wichtiges Element zur Senkung der Arbeitslosigkeit bilden kann.

Hysteresis-Effekte werden innerhalb der Volkswirtschaftslehre bei verschiedenen ökonomischen Teilsystemen beobachtet.

Die Dynamik von Exporten und Produkt-Neueinführungen ist ebenfalls ein Beispiel für ein Hysterese-Verhalten: Am Anfang ist eine Mindestmenge an Anstrengungen erforderlich, um am Markt erfolgreich zu werden; nachdem ein Schwellenwert überschritten ist, sind weitaus weniger Anstrengungen erforderlich. Die Nachfrage nach einem eingeführten Produkt kann hingegen auch nach dessen Abkündigung fortbestehen.

Auch die Auffassung, dass eine Inflation fördernde Wirtschaftspolitik die natürliche Arbeitslosenrate dauerhaft erhöhe, wobei die Inflationserwartungen nach unten starr seien, kann als Hysteresis-Hypothese aufgefasst werden.

[Bearbeiten] Mathematik

In dynamischen Systemen bezeichnet die Hysterese ein Phänomen der Rückwärts-Bifurkation.

[Bearbeiten] Physiologie

In der Physiologie ist Hysterese u. a. in der Ruhedehnungskurve der Lunge zu finden. Damit bezeichnet man den Umstand, dass das Volumen der Lunge bei einer Abnahme des intrapulmonalen Drucks langsamer abnimmt als es bei einer Druckerhöhung zugenommen hat.

Der Grund dafür ist in der Reorganisation der Moleküle des Surfactant-Faktors während des Atemzyklus zu sehen.

Thermische Hystereseproteine (THP) führen bei Tieren, z. B. Fischen zu einem Gefrierschutz. Wenn verstärkt THP in der Körperflüssigkeit vorliegen, kommt es zu einer thermischen Hysterese bei der Eisbildung. Die Körperflüssigkeit gefriert bspw. bei −5 °C, taut allerdings erst bei 0 °C wieder auf. Dieses geschieht nicht durch eine Erhöhung der Molarität in der Extrazellulärflüssigkeit, sondern dadurch, dass die Bindung der THP an die Eiskristalle eine weitere Eisbildung verhindert.

[Bearbeiten] Siehe auch

• Transformator
• Regelungstechnik
• Mechatronik
• Aktorik
• Hysterese bei Zellstoff
• Spiel (Technik)
• Schmitt-Trigger, Schwellwertschalter, Zweipunktregler

[Bearbeiten] Literatur/Weblinks/Quellen

• Hysterese - engl.
• Hysterese Applet - engl.
• Möller, J., Völker, R.: Lohnbildung und Hysteresis. Empirische Überprüfung eines Insider-Outsider-Modells für die Bundesrepublik Deutschland. Zeitschrift für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, 1991, 111, 401-424.
• A. Belcke, M. Göcke: Starke Hysteresis auf dem Arbeitsmarkt. Zeitschrift für Wirtschaft und Sozialforschung, 114, 1994, S. 345 ff.
• The mathematical theory of systems with hysteresis