Gaußscher Integralsatz
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Der gaußsche Integralsatz, auch Satz von Gauß-Ostrogradski, Satz von Gauß oder Divergenzsatz, ist ein Ergebnis aus der Vektoranalysis. Er stellt einen Zusammenhang her zwischen der Divergenz eines Vektorfeldes und dem durch das Feld vorgegebenen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche.
Der gaußsche Integralsatz folgt als Spezialfall aus dem Satz von Stokes, der wiederum den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verallgemeinert.
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[Bearbeiten] Formulierung des Satzes
Es sei: 
kompakt mit abschnittsweise glattem Rand S, der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld 
. Ferner besitze das Vektorfeld 
die Eigenschaft, dass 
auf S integrierbar sei (z. B. stückweise stetig). Das gleiche gelte für 
im Innern von V. Dann gilt, mit den entsprechenden Volumen- bzw. Oberflächen-Inhalten, die folgende Beziehung:
[Bearbeiten] Anwendungen
[Bearbeiten] Flüssigkeiten, Gase, Elektrodynamik
Der Satz wird genutzt zur Beschreibung der Erhaltung von Masse, Impuls und Energie in einem beliebigen Volumen: Das Integral der Quellenverteilung (Summe der Divergenz eines Vektorfeldes) über das Volumen im Innern einer Hülle multipliziert mit einer Konstanten ergibt den gesamten Durchfluss (das Hüllenintegral) der gesamten Strömung durch die Hülle dieses Volumens.
[Bearbeiten] Gravitation
Im Gravitationsfeld erhält man: Das Oberflächenintegral ist -4πG mal die Masse innen, egal wie die Masse darin verteilt ist und unabhängig von irgend welchen Massen außerhalb. Insbesondere gilt: Die ganze Sphäre außerhalb einer Kugel hat keinen (zusätzlichen) Einfluss. Allein die Summe der Quellen und Senken im Innengebiet wirken.
[Bearbeiten] Bedeutung
Der gaußsche Integralsatz findet in vielen Bereichen der Physik Anwendung, vor allem auch in der Elektrodynamik und der Fluiddynamik.
Im letzteren Fall wird die Bedeutung des Satzes besonders anschaulich. Nehmen wir an, das Vektorfeld beschreibt fließendes Wasser in einem gewissen Raumbereich. Dann beschreibt die Divergenz von gerade die Stärke von allen Quellen und Senken in einzelnen Punkten. Möchte man nun wissen, wie viel Wasser aus einem bestimmten Bereich V insgesamt herausfließt, so ist intuitiv klar, dass man folgende zwei Möglichkeiten hat:
- Man untersucht bzw. misst, wie viel Wasser durch die Oberfläche von V aus- und eintritt. Dies entspricht dem Durchfluss von senkrechten Komponenten auf der Oberfläche als Oberflächenintegral.
- Man bilanziert (misst) im Innern des dadurch begrenzten Volumens, wie viel Wasser insgesamt innerhalb von V in Senken (Löchern) verschwindet und wie viel aus Quellen (Wasserzuflüssen) hinzukommt. Man addiert also die Effekte von Quellen und Senken. Dies wird alternativ und gleichwertig dann durch das Volumenintegral über die Divergenz realisiert.
Der gaußsche Integralsatz besagt, dass tatsächlich beide Möglichkeiten stets absolut gleichwertig zum Ziel führen. Er hat damit auch den Charakter eines Erhaltungssatzes der Energie, ist also der bekannte Energieerhaltungssatz.
Ein bildhaftes Anwendungsbeispiel des gaußschen Integralsatzes ist der mathematisch versierte Jäger auf einer Wildschweinjagd: Um festzustellen, ob sich in einem freistehenden Wäldchen noch Wildschweine befinden, wird er nicht in das Wäldchen hineinlaufen und die Tiere aufscheuchen, sondern er zählt die herausführenden und die hineinführenden Spuren. Vorausgesetzt wir haben mit fehlenden alten Spuren eine "Wildschweinquellfreiheit" im Gebiet (Unterraum) „Wäldchen“ sichergestellt, dann weiß er durch Differenzbildung, wie viele Wildschweine sich noch in dem Wäldchen befinden.
[Bearbeiten] Geschichte
Der Satz wurde wahrscheinlich zum ersten Mal von Joseph Louis Lagrange im Jahre 1762 formuliert und unabhängig davon später von Carl Friedrich Gauß (1813), George Green (1825) und Michail Ostrogradski (1831) neu entdeckt. Ostrogradski lieferte auch den ersten formalen Beweis.
[Bearbeiten] Literatur
- Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rn mit Anwendungen. 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-X
- Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin 2004.
