Teorema de la divergencia

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En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky, es un teorema que relaciona la divergencia de un campo vectorial con el valor de la integral de superficie del flujo definido por este campo. Es un resultado importante en física, sobre todo en electrostática y en dinámica de fluidos.

[editar] Enunciado

Sean $H\,$ y $U\,$ dos subconjuntos abiertos en $\mathbb{R}^3$ donde $U\subset H$ es simplemente conexo y el borde de $U\,$ , $S\,$ es una superficie regular o regular a trozos.

Sea $\vec F : H\to R^3$ , un campo vectorial de clase $C^1\,$ , esto es, $\vec F$ cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.

Entonces:

$\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{V} \nabla\cdot\vec F \;dV = \int\!\!\!\int_{S} \vec F \cdot \vec n \ dS$

donde los vectores normales a la superficie $n\,$ son exteriores al volumen $V\,$ .

Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual generaliza el Teorema fundamental del cálculo. El teorema fue enunciado por el matemático alemán Don Carlos Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Debido a la similitud matemática que tiene el campo eléctrico con otras leyes físicas, el teorema de Don carlos Gauss puede utilizarse en diferentes problemas de física gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, como la gravitación o la intensidad de la radiación. Este teorema recibe el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones de Maxwell.

[editar] Ejemplo de aplicación

Esfera de radio 2

Hallar el flujo del campo: $\vec F(x,y,z)=(x+G(y,z),y,z)$ a través de la superficie esférica: $x^{\,\!2} + y^{\,\!2} + z^{\,\!2} = 4$

Resolución:

Sea $G(y,z)\in \; C^1$ , esto quiere decir que $G \,$ tiene derivadas parciales de primer orden continuas. Por la ecuación de la esfera se sabe que el radio: $R \,=2$ .

Entonces:

$\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial f_1 \;}{\partial x \;} + \frac{\partial f_2 \;}{\partial y \;} + \frac{\partial f_3 \;}{\partial z \;}$

$\nabla\cdot\vec F = 1 + 1 + 1 = 3$

Luego:

$\int\!\!\!\int_{S} \vec F \cdot \vec n \ dS$	$= \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{V} \nabla\cdot\vec F \ dv$
	$= \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{V} 3\,\ dv$
	$= 3\cdot\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{V} \ dv$
	$= 3\cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 2^3$
$\int\!\!\!\int_{S} \vec F \cdot \vec n \ dS$	$= 32\cdot \pi$