Cevov izrek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Cevov izrèk [čéjvov ~] v ravninski geometriji pravi, da tri prečnice trikotnika, ki izhajajo iz njegovih oglišč in se sekajo v eni točki, odrežejo odseke stranic, katerih zmnožki so enaki, oziroma še drugače, daljice $A A'$ , $B B'$ in $C C'$ , ki povezujejo oglišča in nasprotne stranice, se sekajo v eni točki (so konkurentne), tedaj in le tedaj, če velja:

Cevov izrek, 1. primer: tri daljice tvorijo šop premic v točki znotraj trikotnika ABC

Cevov izrek, 2. primer: tri daljice tvorijo šop premic v točki O zunaj trikotnika ABC

${AC'\over C'B} {BA'\over A'C} {CB'\over B'A} = 1 \!\, .$

Izrek je dokazal italijanski matematik Giovanni Ceva in ga leta 1678 objavil v svojem delu De lineis rectis. Pred njim ga je dokazal saragoški kralj Al-Mu'taman ibn Hűd v 11. stoletju.

Cevovemu izreku je enakovredna trigonometrična oblika: daljice $A A'$ , $B B'$ in $C C'$ tvorijo šop premic, če velja:

$\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle CAA'} \frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle BCC'} \frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle ABB'} = 1 \!\, .$

Cevov trikotnik je trikotnik $A' B' C'$ , Cevov krog pa poteka skozi njegova oglišča.

[uredi] Posplošitve

Izrek se lahko posploši na večrazsežne simplekse s pomočjo baricentričnih koordinat. Cevov n-simpleks je šop iz vsakega oglišča v točko nasprotne n-1 strani (facete). Cevove premice tvorijo šop premic, če lahko maso porazdelimo v oglišča tako, da se vsaka Cevova premica seka z nasprotno faceto v njenem masnem središču. Presečišče Cevovih premic je masno središče simpleksa.

Za splošne mnogokotnike v ravnini je izrek znan že od začetka 19. stoletja. Izrek so posplošili tudi za trikotnike na drugih površinah s konstantno ukrivljenostjo.