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チェバの定理 - Wikipedia

チェバの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

チェバの定理（ちぇばのていり、Ceva's theorem）とは、幾何学の定理の1つである。ジョバンニ＝チェバによって証明されたため、この名前がついている。

目次

[編集] ステートメント

任意の点Oと三角形ABCにおいて、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。

なお、点Oは、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。

{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1

[編集] 証明の方針

証明法はいくつかあるが、代表的な方針を述べる。

  • 三角形の面積比に置き換える。すなわち、定理の左辺を:{\triangle OAF \over \triangle OFB} \cdot {\triangle OBD \over \triangle ODC} \cdot {\triangle OCE \over \triangle OEA}と読みかえれば、これは:{\triangle OCA \over \triangle OBC} \cdot {\triangle OAB \over \triangle OCA} \cdot {\triangle OBC \over \triangle OAB}である。

[編集] 逆

チェバの定理の逆もまた成り立つ。即ち、任意の三角形ABCにおいて直線AB、BC、CA上に点D、E、Fをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が1個或いは3個の時、

{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1

が成り立つのならば、3直線AD・BE・CFは、1点で交わる。

[編集] 関連項目

ウィキメディア・コモンズ
ウィキメディア・コモンズには、チェバの定理 に関連するマルチメディアがあります。


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