Định lí Ceva

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Định lí Ceva (trường hợp 1: ba đường thẳng đồng qui tại điểm O bên trong đường tròn

Định lí Ceva (trường hợp 1: ba đường thẳng đồng qui tại điểm O bên ngoài đường tròn

Định lí Ceva là một định lí rất phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB, định lí được phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng qui nếu và chỉ nếu (khi và chỉ khi):

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.$

Ngoài ra, định lí Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng qui nếu và chỉ nếu
$\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD}\times\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle BCF}\times\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle ABE}=1$ .

Định lí được chứng minh lần đầu tiên bởi Giovanni Ceva trong tác phẩm viết năm 1678 của ông ta: De lineis rectis.

Một Cevian là một đoạn thẳng nối một đỉnh tam giác với một điểm nằm ở phía đối diện.

[sửa] Chứng minh định lí

Giả sử $A D$ , $B E$ và $C F$ đồng qui tại một điểm $O$ nào đó (trong hay ngoài tam giác). Do $\triangle BOD$ và $\triangle COD$ có chung chiều cao (độ dài của đường cao), ta có

$\frac{|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}=\frac{BD}{DC}.$

Tương tự,

$\frac{|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}=\frac{BD}{DC}.$

Ta suy ra

$\frac{BD}{DC}= \frac{|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|} =\frac{|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}.$

Tương tự,

$\frac{CE}{EA}=\frac{|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|},$

và

$\frac{AF}{FB}=\frac{|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}.$

Nhân ba đẳng thức trên cho ta:

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1,$

(điều phải chứng minh).

Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm $D$ , $E$ và $F$ thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của $A D$ và $B E$ là $O$ , và gọi giao điểm của $C O$ và $A B$ là $F'$ . Theo chứng minh trên,

$\frac{AF'}{F'B} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.$

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được:

$\frac{AF'}{F'B}=\frac{AF}{FB}.$

Thêm 1 vào mỗi vế và chú ý rằng $A F'' + F'' B = A F + F B = A B$ , ta có

$\frac{AB}{F'B}=\frac{AB}{FB}.$

Do đó $F'' B = F B$ , vậy $F$ và $F''$ trùng nhau . Vì vậy $A D$ , $B E$ và $C F$ = $C F''$ đồng qui tại $O$ , và định lí đã được chứng minh (là đúng theo cả hai chiều).