Całka

Z Wikipedii

Nazwa tego hasła odnosi się do więcej niż jednego pojęcia.

Całka oznaczona z funkcji f na przedziale [a,b], może być interpretowana jako różnica pola powierzchni figury nad osią Ox i pod osią Ox.

Całkowanie w sensie Riemanna

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).

Całki można sobie wyobrazić jako sumy nieskończenie wielu nieskończenie małych wartości, takich jak np. wartość funkcji pomnożona przez jej nieskończenie małą różniczkę: $f (x) d x$ . Jest to oczywiście określenie nieścisłe i nieformalne, choć używane w początkach rachunku całkowego przez G. W. Leibniza. Dziś ma ono znaczenie jedynie poglądowe i historyczne, a poszczególne rodzaje całek są definiowane ściśle. Są one szczegółowo opisane w oddzielnych artykułach:

całka oznaczona – intuicyjnie: pole powierzchni między wykresem funkcji f(x) w pewnym przedziale [a,b], a osią odciętych, wzięte ze znakiem plus dla dodatnich wartości funkcji i minus dla ujemnych. Pojęcie całki oznaczonej, choć intuicyjnie proste, może być sformalizowane na wiele sposobów. Jeśli jakaś funkcja jest całkowalna według dwóch różnych definicji całki oznaczonej, wynik całkowania będzie taki sam.
- całka Riemanna, całka Darboux – najprostsze (równoważne ze sobą) definicje całki oznaczonej (zobacz rysunek obok), jednak nie obejmujące wielu ważnych funkcji. Stąd powstało wiele uogólnień tych całek na szerszą klasę funkcji:
  - całka niewłaściwa (Riemanna) – uogólnienie całki Riemanna na niektóre funkcje określone na przedziałach nieskończonych oraz na niektóre funkcje nieograniczone na przedziałach skończonych bądź nie.
    - całka Riemanna-Stieltjesa – uogólnienie całki niewłaściwej, gdy obszarem całkowania nie jest przedział, lecz zbiór wartości pewnej funkcji.
- całka Daniella-Stone'a
- całka Henstocka-Kurzweila (inne nazwy: całka Denjoy, całka Perrona, całka Denjoy-Perrona)
- całka Lebesgue'a – najczęściej stosowane rozszerzenie całki Riemanna. Rozszerza klasę całkowalnych funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Pozwala także na całkowanie funkcji określonych na innych przestrzeniach mierzalnych i w tym sensie wykracza poza tradycyjne rozumienie całki oznaczonej. Całka Lebesgue'a ma własne uogólnienia i szczególne przypadki:
  - całka Lebesgue'a-Stieltjesa – odpowiednik całki Riemanna-Stieltjesa, gdzie funkcja jest całkowana tak jak w całce Lebesgue'a.
  - całka Haara – całka Lebesgue'a dla funkcji mierzalnych względem miary Haara, określonej na σ-ciele zbiorów borelowskich lokalnie zwartej grupy topologicznej
  - całka względem miary wektorowej – uogólnienie całki Lebesgue'a na miary wektorowe.
  - całka Bochnera - uogólnienie całki Lebesgue'a na funkcje mierzalne o wartościach w przestrzeni Banacha (inne nazwy: całka Dunforda-Schwartza albo całka Dunforda pierwszego rodzaju)
  - całka Pettisa, całka Dunforda, całka Gelfanda - uogólnienia całki Lebesgue'a na funkcje słabo mierzalne o wartościach w przestrzeni Banacha
- całka Russo-Vallois - uogólnienie całki Riemanna-Stieltjesa

całka nieoznaczona – pojęcie odwrotne do pochodnej funkcji (mówi o tym podstawowe twierdzenie rachunku całkowego). Całkę oznaczoną na przedziale [a,b] można też zdefiniować (tzw. całka Newtona-Leibniza) jako różnicę między wartościami całki nieoznaczonej w punktach b oraz a. Stąd obliczenie całki nieoznaczonej jest często pierwszym krokiem przy obliczaniu całek oznaczonych.
- całka równania różniczkowego – rozwiązanie równania różniczkowego. Jest to uogólnienie całki nieoznaczonej, która także jest rozwiązaniem równania różniczkowego

$F^\prime (x)=f(x)$

gdzie

F (x)

jest całką nieoznaczoną a

f (x)

całkowaną funkcją.

całka krzywoliniowa – odpowiednik całki oznaczonej, gdzie obszarem całkowania jest pewna krzywa
całka powierzchniowa – odpowiednik całki oznaczonej, gdzie obszarem całkowania jest pewna powierzchnia, np. pewne koło, albo połowa sfery. Całka krzywoliniowa i całka powierzchniowa to szczególne przypadki całki na hiperpowierzchni. W nowoczesnej teorii całkowania, traktuje się je jako całki Lebesgue'a względem pewnych niezmienniczych miar, określonych na σ-ciałach związanych z daną hiperpowierzchnią.
całka podwójna – potocznie: całka z całki (z parametrem). Analogicznie całka potrójna, i ogólnie wielokrotna. Obecnie, całki $n$ -krotne traktuje się jako całki Lebesgue'a względem $n$ -wymiarowej miary Lebesgue'a.

całka stochastyczna – specjalny rodzaj całki używany w rachunku prawdopodobieństwa. Ma kilka wersji:
- całka Paleya-Wienera – najprostsza
- całka Itō - najczęściej używana wersja
- całka Stratonowicza – najczęstsza alternatywa dla całki Itō, czasem wygodniejsza

Niektóre przypadki całek oznaczonych i nieoznaczonych dla pewnych szczególnych funkcji mają własne nazwy:

całki eliptyczne
całka abelowa
całka Duhamela (pochodna splotu funkcji)
całka Fresnela
całka Poissona
całka wymiany

Operacja wyznaczania całki (całkowanie) nie jest łatwa. Całki niektórych funkcji nie istnieją, a niektórych innych funkcji nie dają się zapisać za pomocą standardowych funkcji matematycznych. Algorytm Rischa pozwala dla każdej funkcji elementarnej sprawdzić, czy jej całka jest funkcją elementarną i jeśli tak, znaleźć ją. Nie obejmuje on całek wyrażonych przez funkcje specjalne.

Zwykle w praktycznych problemach całkuje się numerycznie lub próbuje się sprowadzić całkę (m.in. za pomocą tzw. całkowania przez podstawienie, całkowania przez części, przekształceń algebraicznych, lub trygonometrycznych) do znanych całek, których szuka się w tablicach.