Całkowanie przez podstawienie

Z Wikipedii

Całkowanie przez podstawienie to jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.

Spis treści

1 Opis metody
2 Przykłady
3 Przydatne podstawienia
4 Zobacz też

[edytuj] Opis metody

Jeśli:

Funkcja $ψ(x)$ jest różniczkowalna w $\mathbb{X}$
$\psi(\mathbb{X}) = T$ jest przedziałem
Funkcja g(x) ma funkcję pierwotną w T ( $G'(t) = g (t)$ )
$f(x) = g(\psi(x)) \cdot \psi'(x), x \in \mathbb{X}$

to funkcja f jest całkowalna w $\mathbb{X}$ i zachodzi:

$\int f(x) dx = \int g(\psi(x)) \cdot \psi'(x) dx = G(\psi(x)) + C$

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

$\int f(g(x)) g^{\prime}(x) dx$ ,

to można zmienić podstawę całkowania na $g (x)$ :

$\int f(g(x)) dg(x)$ .

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Zakładamy, że:

Funkcja f jest całkowalna w swej dziedzinie.
Funkcja g określona na przedziale [a; b] jest różniczkowalna w sposób ciągły.
g'(x)≠0 dla każdego x z przedziału (a; b)
Obraz funkcji g zawiera się w dziedzinie funkcji f.

Wówczas: $\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx = \int\limits_a^bf(g(t)) \cdot g'(t)dt$

[edytuj] Przykłady

Obliczając całkę $\int \frac{\ln x}{x} dx$ , zastosować można podstawienie $\ln x = t \Rightarrow {dx \over x} = dt$ , więc:

$\int \frac{\ln x}{x} dx = \int t dt = {1 \over 2} t^2 + C = {1 \over 2} \ln^2 x + C$

Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:

$\int \sin (2x+3) dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x+3) 2 dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x+3) d(2x+3) = - \frac{1}{2} \cos (2x+3) + C.$

[edytuj] Przydatne podstawienia

[edytuj] Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci $R (sin x,cos x)$ ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne $t = \operatorname{tg}{x \over 2}$ . Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus ( $R ( - sin x,cos x) = - R (sin x,cos x)$ ), stosuje się podstawienie $t = cos x$
Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus ( $R (sin x, - cos x) = - R (sin x,cos x)$ ), stosuje się podstawienie $t = sin x$
Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie ( $R ( - sin x, - cos x) = R (sin x,cos x)$ ), stosuje się podstawienie $t = \operatorname{tg}x$

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych wyprowadzić można czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego: $t = \operatorname{tg}{x \over 2} \Rightarrow {x \over 2}=\operatorname{arctg}t \Rightarrow dx = {2 \over 1+t^2}dt$ zachodzi:

$\sin x = \frac{2 \sin {x \over 2} \cos {x \over 2}}{\sin^2 {x \over 2} + \cos^2 {x \over 2}} = \frac{2 \frac{\sin {x \over 2}}{\cos {x \over 2}}}{\frac {\sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2}}+1} = \frac{2t}{t^2+1}$ $\cos x = \frac{\cos^2 {x \over 2} - \sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2} + \sin^2 {x \over 2}} = \frac{1-\frac{\sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2}}}{1+\frac{\sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2}}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

W przypadku podstawienia $t = \operatorname{tg}x$ mamy dla funkcji postaci $R (sin 2 x,cos 2 x,sin x cos x)$ : $x = \operatorname{arctg}t$ , $dx=\frac{dt}{1+t^2}$

$\sin ^2 x = \frac{\sin ^2 x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x}= \frac{t^2}{t^2 + 1}$ $\cos ^2 x = \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{1}{t^2 + 1}$ $\sin x \cos x= \frac{\sin x \cos x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{t}{t^2 + 1}$

[edytuj] Przykłady

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

$\int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{1+\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \int \frac{2dt}{1+t^2+2t+1-t^2} =$ $= \int \frac{dt}{t+1} = \ln |t+1|+C = \ln |\operatorname{tg}{x \over 2} + 1|+C$

[edytuj] Podstawienia Eulera

Podstawienia Eulera stosujemy przy obliczaniu całek funkcji postaci $R(\sqrt{ax^2+bx+c}, x)$ , gdzie R jest funkcją wymierną.

[edytuj] I podstawienie Eulera

I podstawienie stosować można, gdy a>0. Przyjmujemy wtedy: $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+t$ . Wobec tego otrzymujemy:

$ax^2+bx+c=ax^2+2\sqrt{a}xt+t^2 \implies x(b-2\sqrt{a}t)=t^2-c \implies x=\frac{t^2-c}{b-2\sqrt{a}t}$ ,

$dx=\frac{2t(b-2\sqrt{a}t)+2\sqrt{a}(t^2-c)}{(b-2\sqrt{a}t)^2}dt$ .

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy: $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\frac{t^2-c}{b-2\sqrt{a}t}+t$ .

[edytuj] II podstawienie Eulera

II podstawienie stosować można, gdy c>0. Przyjmujemy wówczas: $\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}$ . Mamy zatem:

$ax^2+bx+c=x^2t^2+2\sqrt{c}xt+c \implies ax+b=xt^2+2\sqrt{c}t \implies x(a-t^2)=2\sqrt{c}t-b \implies x=\frac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^2}$ ,

$dx=\frac{2\sqrt{c}(a-t^2)+2t(2\sqrt{c}t-b)}{(a-t^2)^2}dt$ .

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, otrzymujemy: $\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{2\sqrt{c}t^2-bt}{a-t^2}+\sqrt{c}$ .

[edytuj] III podstawienie Eulera

III podstawienie stosować można, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₀, x₁ trójmianu $a x 2 + b x + c$ . Przyjmujemy wtedy: $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-x_0)(x-x_1)}=t(x-x_1)$ . Stąd:

$(x-x_1)t^2=a(x-x_0) \implies x(t^2-a)=t^2x_1-ax_0 \implies x=\frac{t^2x_1-ax_0}{t^2-a}$ ,

$dx=\frac{2ta(x_0-x_1)}{(t^2-a)^2}dt$ .

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy: $\sqrt{ax^2+bx+c}=t(\frac{t^2x_1-ax_0}{t^2-a}-x_1)$

[edytuj] Całkowanie różniczek dwumiennych

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: $x m (a + b x n) p d x$ , gdzie a,b są liczbami rzeczywistymi (niezerowymi), zaś m, n, p liczbami wymiernymi. Przyjmijmy ponadto $p = \frac{q}{r}$ , gdzie q, r są całkowite. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę $\int x^m(a+bx^n)^pdx$ można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

gdy p jest liczbą całkowitą ; przypadek nie wymaga podstawień.
gdy $\frac{m+1}{n}$ jest liczbą całkowitą; stosujemy wtedy podstawienie $t=\sqrt[r]{a+bx^n}$ .
gdy $\frac{m+1}{n}+p$ jest liczbą całkowitą; stosujemy podstawienie $t=\sqrt[r]{\frac{a+bx^n}{x^n}}$ .

[edytuj] Podstawienia trygonometryczne

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

$\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})dx$ - podstawiamy $x = a \operatorname{sinh} t$ lub $x = a \operatorname{tg} t$
$\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx$ - podstawiamy $x = a \operatorname{cosh} t$ lub $x = a \operatorname{sec} t$
$\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx$ - podstawiamy $\ x = a \sin t$ lub $\ x = a \cos t$

[edytuj] Inne podstawienia

Całki typu $\int R(e^x)dx$ obliczamy przez podstawienie $\ e^x = t$ . Stąd: $\ x = \ln{t}, \quad dx = \frac{dt}{t}$ .
Całki typu $\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_1}, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_2}, \cdots, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_n}\right)dx$ , gdzie p₁, p₂, ..., p_n są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając $\frac{ax+b}{cx+d} = t^k$ , gdzie k jest najmniejszym wspólnym mianownikiem liczb p₁, p₂, ..., p_n.