Całka nieoznaczona

Z Wikipedii

Całka nieoznaczona – jedno z podstawowych pojęć analizy matematycznej, rodzina funkcji pierwotnych do danej funkcji $f (x)$ , czyli takich funkcji $F (x)$ , że dla każdego x $F^\prime(x)=f(x)$ . Wszystkie takie funkcje F dla danego f różnią się jedynie o stałą, stąd można je zapisać ogólnie jako $F (x) + C$ . Operacja znajdowania funkcji pierwotnej dla danego f nazywana jest całkowaniem.

Symbolem całki nieoznaczonej jest symbol $\int ,$ wprowadzony w 1686 roku przez niemieckiego matematyka i filozofa Gottfrieda Leibniza. Na końcu zapisu całki umieszczana jest litera $\operatorname{d}$ a następnie symbol zmiennej względem której wykonywane jest całkowanie. Tak więc całą rodzinę funkcji pierwotnych zapisać w następujący sposób:

$\int f(x)\;\operatorname{d}x = F(x)+C$

W zapisie tym funkcję f nazywa się funkcją podcałkową, zmienną x zmienną całkowania, zaś stałą C stałą całkowania.

Każda funkcja ciągła ma całkę nieoznaczoną czyli także funkcję pierwotną. Również niektóre funkcje nieciągłe mają całki nieoznaczone.

[edytuj] Twierdzenia

Twierdzenie 1 (addytywność)
Jeśli $E\subseteq\mathbb{R}$ jest przedziałem oraz istnieją całki nieoznaczone funkcji $f,g\colon E\rightarrow\mathbb{R}$ , to istnieje całka nieoznaczona funkcji $f + g$ i zachodzi wzór:

$\int(f+g)(x)dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

Twierdzenie 2 (jednorodność)
Jeśli $E\subseteq\mathbb{R}$ jest przedziałem oraz istnieje całka nieoznaczona funkcji $f\colon E\rightarrow\mathbb{R}$ , to dla każdej stałej $a\in\mathbb{R}$ istnieje całka nieoznaczona funkcji $a f$ i zachodzi wzór:

$\int (af)(x)dx=a\int f(x)dx$

[edytuj] Przykłady

$\int x^n \mbox{ } dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \mbox{ } \textrm{gdzie} \mbox{ } C\in\mathbb{R} \mbox{ } (n\neq-1)$
$\int \frac{1}{x} \mbox{ } dx=\ln |x| + C, \mbox{ }$
$\int e^x \mbox{ } dx=e^x + C, \mbox{ } \textrm{gdzie} \mbox{ } C\in \mathbb{R}$
$\int\sin x \mbox{ } dx=-\cos x + C, \mbox{ } \textrm{gdzie} \mbox{ } C\in\mathbb{R}$
$\int\cos x \mbox{ } dx=\sin x + C, \mbox{ } \textrm{gdzie} \mbox{ } C\in \mathbb{R}$
$\int\frac{1}{x^2+a^2} \mbox{ } dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C, \mbox{ } \textrm{gdzie} \mbox{ } C\in \mathbb{R} \mbox{ } (a\neq0)$