Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
Z Wikipedii
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego - wyraża fakt, że podstawowe operacje rachunku różniczkowego i całkowego - różniczkowanie i całkowanie - są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, jeżeli dana jest funkcja ciągła f, to pochodna jej całki nieoznaczonej jest równa f. Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest możliwość wykorzystania funkcji pierwotnej do obliczania całki oznaczonej danej funkcji.
Prawdopodobnie twierdzenie to znał już nauczyciel Izaaka Newtona, Izaak Barrow (1630-1677). Pierwszy znany dowód przypisywany jest szkockiemu matematykowi Jamesowi Gregory'emu (1638-1675).
Spis treści |
[edytuj] Twierdzenie
Niech f będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych całkowalną w sensie Riemanna w przedziale [a,b]. Wówczas:
(1) Funkcja f jest całkowalna na każdym przedziale [a,x] (dla ) i odwzorowanie dane przez
jest ciągłe w przedziale [a,b]. Jeżeli ponadto f jest ciągła w pewnym punkcie , to funkcja F jest różniczkowalna w x0 oraz F ′(x0) = f(x0).
(2) Jeżeli jest funkcją ciągłą i różniczkowalną na (a,b) oraz
- dla każdego
to
oraz
- .
[edytuj] Dowód
(1) Wykażemy, że jeśli f jest ciągła na [a,b], to funkcja dana przez formułę
jest różniczkowalna w każdym punkcie odcinka [a,b]. Niech będą tak dobrane, by leżały w przedziale [a, b]. Wówczas
i
- .
Odejmując stronami otrzymujemy
- .
Z własności całki oznaczonej wynika, że
skąd mamy natychmiast
- .
Na mocy twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego istnieje takie, że
- .
Stąd
- ,
a po podzieleniu obu stron przez Δx:
- .
Jak widać, wyrażenie to jest ilorazem różnicowym funkcji F w punkcie x1. Przechodząc po obu stronach do granicy z Δx → 0 otrzymujemy
Zauważmy, że wyrażenie po lewej stronie jest definicją pochodnej funkcji F w punkcie x1:
- .
Ponieważ jasne jest, że gdy Δx → 0, to c → x_1. W konsekwencji,
- .
Ponieważ funkcja f jest ciągła w punkcie c, więc granica po prawej stronie równa jest wartości funkcji w punkcie x1. Stąd
- .
i dowód jest zakończony.
Należy zwrócić uwagę, że powyższy dowód pokazuje różniczkowalność funkcji F w punkcie x1 o ile funkcja podcałkowa f jest ciągła przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu x1. Bez tego założenia nie możemy powoływać się na twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego. Dowód w pełnej ogólności może być przeprowadzony przy użyciu definicji całki Riemanna i sum Riemanna.
(2) Zauważmy najpierw, że jeśli wiemy że funkcja f = F' jest ciągła, to możemy zastosować pierwszą część twierdzenia. Ale w ogólnym przypadku funkcja F' może być nieciągła w wielu punktach i nie mamy podstaw aby twierdzić że funkcja jest wszędzie różniczkowalna. Przeprowadzimy więc dowód odwołując się bezpośrednio do definicji całki Riemanna.
Wykażemy, że (co wystarczy, bo możemy zastąpić b przez dowolny ).
Niech . Ustalmy na pewien czas dodatnią liczbę . Z definicji całki Riemanna widzimy, że możemy wybrać podział z punktami pośrednimi odcinka [a,b] taki że dla każdego podziału rozdrabniającego mamy
-
-
- .
-
Następnie wybierzmy podział rozdrabniający i taki że oznaczając
-
- oraz
mamy
- (a) , oraz
- (b) jeśli , to .
Wybór podziału jest możliwy, bo aby zapewnić warunek (a) wystarczy dobrać (dla ) dostatecznie blisko siebie (pamiętajmy że F jest ciągła), a aby zapewnić warunek (b) wystarczy skorzystać z twierdzenia Lagrange'a. Następnie zauważmy, że
-
- .
Stąd widzimy że
- .
Tak więc pokazaliśmy, że dla dowolnej dodatniej liczby zachodzi nierówność . Stąd wnioskujemy że F(b) − F(a) = S, co należało udowodnić.
[edytuj] Przykłady
- Jeżeli funkcja f określona jest w przedziale [-1,1] wzorem:
to mimo iż jest ona nieciągła w punkcie 0, funkcja
ma pochodną w punkcie 0, lecz jest ona równa 1.
- Oblicz pochodną funkcji
Na mocy twierdzenia podstawowego mamy natychmiast , co można również sprawdzić bezpośrednio wyliczając całkę oznaczoną.
- Oblicz pochodną funkcji
Zauważmy, że , gdzie , a u(x) = x2, a zatem z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy
Ponieważ , na mocy twierdzenia podstawowego otrzymujemy
co również można sprawdzić obliczając explicite całkę definiującą F.
[edytuj] Uogólnienia
Twierdzenie podstawowe prawdziwe jest bez zmian również, gdy założymy całkowalność funkcji w sensie Lebesgue'a.
Lebesgue udowodnił kilka faktów będących wzmocnieniem omawianego twierdzenia. Mianowicie, jeżeli funkcja f jest całkowalna w sensie Lebesgue'a na przedziale , to jej pierwotna ma pochodną w tym przedziale prawie wszędzie równą f(x). Na odwrót, jeżeli funkcja F jest różniczkowalna w przedziale a jej pochodna jest ograniczona w przedziale , to f jest całkowalna w sensie Lebesgue'a i prawdziwy jest wzór:
Istnieje też wersja twierdzenia dla funkcji zmiennej zespolonej: jeżeli U jest otwartym podzbiorem zbioru liczb zespolonych, a jest funkcją, która ma holomorficzną funkcję pierwotną F na U, to dla dowolnej krzywej całka krzywoliniowa
W końcu, podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego można uogólnić także na całki krzywoliniowe i powierzchniowe na rozmaitościach. Najdalej idącym twierdzeniem w tym kierunku jest twierdzenie Stokesa.