Funkcja analityczna

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Należy w nim poprawić: nazwa analityczna a holomorficzna (brak wyjaśnienia w tekście).. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdziesz na stronie dyskusji tego artykułu. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Funkcja analityczna – rodzaj funkcji rozważanej w analizie zespolonej.

Spis treści 1 Definicja 1.1 Pochodna funkcji zmiennej zespolonej 1.2 Uwagi 2 Przykłady 3 Własności 4 Bibliografia 5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Funkcję zmiennej zespolonej, określoną w pewnym obszarze D nazywamy funkcją analityczną w tym obszarze, jeżeli w każdym punkcie tego obszaru ma pochodną. Mówimy, że funkcja jest analityczna w punkcie z₀ jeżeli jest analityczna w pewnym otoczeniu tego punktu.^[1]

[edytuj] Pochodna funkcji zmiennej zespolonej

Pochodną funkcji zmiennej zespolonej w punkcie definiuje się tak samo, jak pochodną funkcji zmiennej rzeczywistej. Jeśli istnieje granica

to oznaczamy ją symbolem i nazywamy pochodną funkcji f w punkcie z₀.

[edytuj] Uwagi

Fakt, że zmienna jest zespolona, pociąga, w przeciwieństwie do funkcji zmiennej rzeczywistej, bardzo daleko idące konsekwencje. Okazuje się mianowicie, że istnienie pochodnej pierwszego rzędu w każdym punkcie dziedziny pociąga za sobą istnienie pochodnych dowolnego rzędu – nietrudno natomiast o przykład funkcji zmiennej rzeczywistej, która ma pochodną w zadanym punkcie, ale nie ma w nim drugiej pochodnej.

Każdą funkcję analityczną można rozwinąć w szereg potęgowy w pewnym otoczeniu dowolnego punktu jej dziedziny.

Funkcja jest analityczna (regularna), jeżeli posiada pochodną w pewnym otoczeniu punktu z₀. Funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze, jeśli jest holomorficzna w każdym punkcie tego obszaru. Funkcja analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej jest nazywana funkcją całkowitą. Jeżeli funkcja nie jest w badanym obszarze (lub krzywej) analityczna to mówimy, że jest ona tam osobliwa.

[edytuj] Przykłady

• Funkcja stała jest funkcją analityczną.
• Wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie.
• Funkcje wymierne są funkcjami analitycznymi we wszystkich obszarach, w których są określone (poza miejscami zerowymi mianownika).
• Każdy szereg potęgowy o promieniu zbieżności r > 0 jest funkcją analityczną w kole | z | < r.
• Funkcje zmiennej zespolonej: sinz,cosz,e^z są funkcjami analitycznmi.

[edytuj] Własności

• Suma, iloczyn i iloraz (tam gdzie określony) funkcji analitycznych są funkcjami analitycznmi.
• Funkcja analityczna funkcji analitycznej (tzn. złożenie funkcji analitycznych) jest również funkcją analityczną.

[edytuj] Bibliografia

1. ↑ Leja F.: Funkcje zespolone, 4, Biblioteka Matematyczna, Warszawa, 1976, s.68.

[edytuj] Zobacz też

• analiza zespolona