تابع تحلیلی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

در ریاضیات یک تابع تحلیلی، تابعی است که به طور محلی به وسیله یک سری توانی همگرا مشخص می شود. می توان به توایع تحلیلی مانند یک پل بین چند جمله ایها و توابع در حالت کلی فکر کرد. اینجا توابع تحلیلی حقیقی و توابع تحلیلی مختلط وجود دارند، که شباهتها و تفاوتهایی دارند. یک تابع تحلیلی است اگر برابر با سری تیلورش در یک همسایگی باشد.

[ویرایش] تعاریف

تابع f رو مجموعهٔ باز D در خط حقیقی، تحلیلی حقیقی است اگر برای هر x₀ در D بتوان نوشت:

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n$

$= a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots$

در این فرمول ضرایب a₀, a₁, ... اعداد حقیقی هستند و سری برای x در یک همسایگی از x₀ همگرا است. به صورت دیگر، یک تابع تحلیلی یک تابع بینهایت بار مشتق پذیراست به این صورت که سری تیلور در هر نقطه x₀ در دامنه اش

$T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}$

برای x به اندازه کافی نزدیک به x₀ همگراست و مقدارش برابر با f(x) است. تعریف یک تابع تحلیلی مختلط با جایگزین کردن «مختلط» به جای «حقیقی» و «صفحهٔ مختلط» به جای «خط حقیقی» در مطالب بالا بدست می آید.

[ویرایش] مثال ها

هر چند جملهای (حقیقی یا مختلط) یک تایع تحلیلی است. به این دلیل که اگر یک چند جمله ای از درجه n باشد، هر جمله ازدرجه بزرگ‌تر از n در بسط سری تیلورش صفر است، وبنا براین، این سری به طور جزئی همگرا خواهد بود.
تابع نمایی تحلیلی است. هر سری تیلور برای این تابع نه فقط برای x به اندازه کافی نزدیک به x₀ (همان طور که در تعریف آمده) بلکه برای همه مقدار x (حقیقی یا مختلط) همگرا می شود.
توابع مثلثاتی، لگاریتم و توابع توانی روی هر بازهٔ باز در دامنهٔشان تحلیلی اند.
تابع قدر مطلق تحلیلی نیست زیرا مشتق پذیر نیست. توابع تعریف شدهٔ تکه ای(تابعهای معلوم به وسیله فرمولهای مختلف در مناطق مختلف) تحلیلی نیستند.

[ویرایش] خصوصیات توابع تحلیلی

مجموع ها، ضرب ها و ترکیبات توابع تحلیلی، تحلیلی اند.
معکوس یک تابع تحلیلی که هیچ کجا صفر نیست، تحلیلی است.
هر تابع تحلیلی هموار است.

یک چند جمله ای نمی‌تواند در تعداد زیادی نقطه صفر باشد مگر اینکه چند جمله ای صفر باشد (به طور دقیق تر، تعداد صفرها حداکثر می تواند به اندازهٔ درجهٔ چندجمله ای باشد). حکمی مشابه ولی ضعیفتر برای توابع تحلیلی وجود دارد. اگر مجموعهٔ صفرهای تابع تحلیلی f یک نقطهٔ انباشتگی در دامنه اش داشته باشد، آنگاه f در تمام مؤلفهٔ همبندی که شامل نقطهٔ انباشتگیست صفر است.

[ویرایش] همچنین نگاه کنید به

رده‌های صفحه: آنالیز مختلط | آنالیز ریاضی

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

تابع تحلیلی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

فهرست مندرجات

[ویرایش] تعاریف

[ویرایش] مثال ها

[ویرایش] خصوصیات توابع تحلیلی

[ویرایش] همچنین نگاه کنید به

Views

گشتن

جستجو

زبان‌های دیگر