Funzione analitica

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In matematica, una funzione analitica è una funzione localmente espressa da una serie di potenze convergente. Le funzioni analitiche possono essere viste come un ponte fra i polinomi e le funzioni generiche. Esistono funzioni analitiche reali e funzioni analitiche complesse, con somiglianze e differenze.

[modifica] Definizioni

Formalmente, la funzione f è analitica su un insieme aperto D della retta reale se per ogni x₀ in D si può scrivere f (x) come

$f(x)\,$	$=\sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n$
	$= a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots$

dove i coefficienti a₀, a₁, ... sono numeri reali e la serie è convergente in un intorno di x₀.

La definizione di funzione analitica complessa è ottenuta sostituendo dappertutto "reale" con "complesso". Le funzioni analitiche complesse sono analizzate nei dettagli nella voce funzione olomorfa.

[modifica] Proprietà delle funzioni analitiche

La somma, il prodotto e la composizione di funzioni analitiche sono analitiche.
Il reciproco di una funzione analitica che non si annulla mai è analitico, così come l'inversa di una funzione analitica invertibile la cui derivata non è mai nulla.
Tutti i polinomi sono funzioni analitiche. Per un polinomio, l'espansione in serie di potenze contiene solo un numero finito di termini non nulli.
Tutte le funzioni analitiche sono lisce.

Un polinomio non può valere zero in troppi punti a meno che non sia il polinomio nullo (più precisamente, il numero di zeri è al massimo pari al grado del polinomio). Un'affermazione simile ma più debole vale per le funzioni analitiche. Se l'insieme degli zeri di una funzione analitica f ha un punto di accumulazione all'interno del suo dominio, allora f è nulla su tutta la componente connessa del dominio che contiene il punto di accumulazione.

Più formalmente questa affermazione può essere espressa nel modo seguente. Se (r_n) è una successione di numeri distinti tale che f(r_n) = 0 per ogni n e questa successione converge a un punto r nel dominio D, allora f è identicamente zero nella componente connessa di D contenente r.

Inoltre, se tutte le derivate di una funzione analitica sono nulle in un punto, vale ancora la conclusione precedente.

Queste affermazioni implicano che nonostante le funzioni analitiche abbiano più gradi di libertà rispetto ai polinomi, sono tuttavia ancora abbastanza rigide.

[modifica] Analiticità e derivabilità

Tutte le funzioni analitiche (reali o complesse) sono derivabili, in realtà infinitamente derivabili (cioè lisce). Esistono funzioni reali lisce non analitiche. Le funzioni analitiche reali sono "molte meno" delle funzioni (infinitamente) derivabili.

La situazione è molto diversa nel caso delle funzioni analitiche complesse. Si può dimostrare che le funzioni olomorfe su un insieme aperto sono analitiche. Di conseguenza, in analisi complessa, il termine funzione analitica è un sinonimo di funzione olomorfa.

[modifica] Funzioni analitiche reali e complesse

Le funzioni analitiche reali e complesse hanno importanti differenze (come si può vedere dalla loro differente relazione con la derivabilità). Le funzioni analitiche complesse sono più rigide in molti sensi.

Secondo il teorema di Liouville, ogni funzione analitica complessa limitata definita sull'intero piano complesso è costante. Questa affermazione è chiaramente falsa per una funzione analitica reale, come si vede da

$f(x)=\frac{1}{x^2+1}.$

Inoltre, se una funzione analitica complessa è definita in una palla aperta intorno a un punto x₀, la sua espansione in serie di potenze in x₀ è convergente nell'intera palla. Questo non è vero in generale per le funzioni analitiche reali. (Si noti che una palla aperta nel piano complesso sarebbe un disco bidimensionale, mentre sulla retta reale sarebbe un intervallo).

Ogni funzione analitica reale su un certo insieme aperto della retta reale può essere estesa a una funzione analitica complessa su un certo insieme aperto del piano complesso. Comunque, non tutte le funzioni analitiche reali definite sull'intera retta reale possono essere estese a una funzione complessa definita sull'intero piano complesso. La funzione f (x) definita nel paragrafo precedente è un controesempio.

[modifica] Funzioni analitiche in più variabili

Si possono definire le funzioni analitiche in più variabili tramite le serie di potenze in queste variabili (vedi serie di potenze). Le funzioni analitiche in più variabili hanno alcune delle proprietà delle funzioni analitiche a una variabile. Comunque, soprattutto nel caso delle funzioni analitiche complesse, si trovano nuovi e interessanti fenomeni in più dimensioni.