Złożenie funkcji

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Przykład
4 Struktura grupy
- 4.1 Składanie funkcji samej ze sobą
5 Zobacz też

Złożenie (superpozycja) funkcji – funkcja zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.

[edytuj] Definicja

Niech $f: X \to Y$ oraz $g: Y \to Z$ będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję $h: X \to Z$ taką, że

$h(x)=g\left(f(x)\right)$ .

Funkcje $f$ oraz $g$ nazywa się funkcjami składanymi, zaś $h$ nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany $\circ$ . Dla powyższych funkcji

$h = g \circ f$ ,

zatem

$h(x) = g\left(f(x)\right) \equiv (g \circ f)(x)$ .

[edytuj] Własności

Łączność operatora składania oznacza, że $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ , czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis $f \circ g \circ h$ .

Z istnienia złożenia $g \circ f$ nie wynika istnienie $f \circ g$ . Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór $X$ jest tożsamy z $Z$ . Mamy wówczas $f \circ g\colon Y \to Y$ , w takim przypadku $f \circ g$ na ogół różni się od funkcji $g \circ f$ .

[edytuj] Przykład

Niech $f\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = 2x+1$ i $g\colon \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = x^2$ . Wtedy

$(g \circ f)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (g \circ f)(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ , natomiast

$(f \circ g)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (f \circ g)(x) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1$ .

Widać, iż $g \circ f$ jest inna niż $f \circ g$ .

[edytuj] Struktura grupy

Zobacz więcej w osobnym artykule: grupa permutacji.

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy. Przykłady:

$Σ X$ , czyli grupa symetryczna danego zbioru $X$ , oznaczana również przez $S X$ albo $\operatorname{Sym}(X)$ , czyli grupa wszystkich bijekcji $f\colon X \to X$ .
Zbiór wszystkich odwzorowań $f\colon X \to X$ jest połgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

[edytuj] Składanie funkcji samej ze sobą

Jeżeli $f\colon X \to X$ , to można wykonać złożenie $f$ samą ze sobą – otrzymaną funkcję $f \circ f$ oznacza się zazwyczaj $f 2$ . Analogicznie, $f^3 = f \circ f \circ f$ , itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję $f$ , dla której $(f \circ f)(x) = x$ nazywamy inwolucją.

Tradycyjnie $f 2$ jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (lub iloczyn punktowy), czyli $f(x) \cdot f(x)$ . W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: $sin 2 x + cos 2 x = 1$ zapis $sin 2 x$ oznacza właśnie $\sin x \cdot \sin x = (\sin x)^2$ . Choć zaleca się zapis nawiasowy, to zwykle nie prowadzi to jednak do większych nieporozumień.