Iloraz różnicowy
Z Wikipedii
Iloraz różnicowy – wielkość charakteryzująca przyrost funkcji na danym przedziale.
Spis treści |
[edytuj] Definicja formalna
Niech 
i 
. Wtedy ilorazem różnicowym nazywamy iloraz
.
Jeżeli nie prowadzi to do niejasności stosujemy też oznaczenie 
, gdzie Δf oznacza licznik, zaś Δx – mianownik powyższego ułamka.
[edytuj] Przykład
Dla funkcji 
i punktów 
ich iloraz różnicowy wynosi:
.
Rysunek przedstawia interpretację geometryczną ilorazu różnicowego dla dwóch punktów 
. Prostą PQ nazywa się sieczną lub cięciwą.
UWAGA!: 
wyłącznie w prostokątnym układzie współrzędnych o równych jednostkach na obu osiach.
Jeżeli f określa zmianę drogi ciała w czasie, to iloraz różnicowy funkcji f w dla punktów określa średnią prędkość ciała w czasie od x1 do x2.
[edytuj] Uogólnienie ilorazu różnicowego
Ilorazem różnicowym k-tego rzędu funkcji w punktach 
nazywamy funkcję
![f[x_0,\; x_1,\; \dots,\; x_N] := \sum\limits_{i=0}^N~{f(x_i) \over \prod\limits_{j=0 \atop j \neq i}^N (x_i-x_j)}](../../../../math/a/8/4/a84db4324d127426212676f1f0f710e4.png)
.
Prawdziwy jest związek rekurencyjny:
![\begin{cases} f[x_i]=f(x_i) \quad (0 \leq i \leq N) \\ f[x_0,\; x_1,\; \dots,\; x_k] = {f[x_1,\; x_2,\; \dots,\; x_k] - f[x_0,\; x_1,\; \dots,\; x_{k-1}] \over x_k - x_0} \quad (k = 1,\; 2,\; \dots,\; N) \end{cases}](../../../../math/4/e/8/4e845d97f9bd1def1fc17a2ce4194e5a.png)
.
