Differenzenquotient
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Der Differenzenquotient ist ein Begriff aus der Mathematik. Er beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer Größe zu der Veränderung einer anderen, von der die erste abhängt. In der Analysis verwendet man Differenzenquotienten, um die Ableitung einer Funktion zu definieren. In der numerischen Mathematik werden sie zum Lösen von Differentialgleichungen und für die näherungsweise Bestimmung der Ableitung einer Funktion benutzt.
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[Bearbeiten] Definition
Ist f eine Funktion und , so nennt man den Quotienten
Differenzenquotient von f im Intervall [x0;x1].
Häufig setzt man und . Damit ergibt sich die alternative Schreibweise
Geometrisch entspricht der Differenzenquotient der Steigung der Sekante des Graphen von f durch die Punkte (x0,f(x0)) und (x0 + Δx,f(x0 + Δx)).
[Bearbeiten] Differentialrechnung
Differenzenquotienten bilden zusammen mit dem Grenzwertbegriff die theoretische Grundlage der Differentialrechnung. Den Grenzwert des Differenzenquotientens für bezeichnet man als Differentialquotienten oder Ableitung der Funktion an der Stelle x0 (kurz: f'(x0)), sofern dieser Grenzwert existiert. Das Berechnen dieses Grenzwerts nennt man Ableiten oder Differenzieren. Die Tabelle zeigt die Ableitungen einiger Funktionen:
Funktion | Differenzenquotient | Differentialquotient | Umformung | |
---|---|---|---|---|
Konstante Funktion | ||||
(Homogene) Lineare Funktion | ||||
Quadratfunktion | ||||
Kubikfunktion |
[Bearbeiten] Numerische Mathematik
Bei differenzierbaren Funktionen kann der Differenzenquotient als Näherung für die lokale Ableitung benutzt werden. In der Finite-Differenzen-Methode wird diese Eigenschaft zur Lösung von Differentialgleichungen benutzt. Ebenso wird dies für die numerische Differentiation von Funktionen verwendet.
Dabei ist der Differenzenquotient nicht auf die erste Ableitung beschränkt. Es existieren Differenzenquotienten für höhere sowie partielle Ableitungen.
[Bearbeiten] Beispiel
Es sei .
Der Graph von f ist eine Normalparabel. Wollen wir die Ableitung z.B. in der Nähe der Stelle x = 12 ungefähr berechnen, so wählen wir für Δx einen kleinen Wert, z.B. 0,001. Das ergibt als Differenzenquotienten im Intervall [12;12,001] den Wert . Dieser ist die Sekantensteigung des Funktionsgraphen im Intervall [12;12,001] und eine Näherung der Steigung der Tangente an der Stelle 12.
[Bearbeiten] Varianten
In der Praxis werden verschiedene Varianten des Differenzenquotienten verwendet, die sich in der Definition von Δy und Δx unterscheiden, etwa um die Genauigkeit bei der Bestimmung des lokalen Wachstums, z.B. der Sekantensteigung eines Graphen, zu verbessern oder um an den Randstellen einer Funktion deren Sekantensteigung „rückwärts“ in Richtung des Inneren von deren Definitionsbereich zu ermitteln.
[Bearbeiten] Vorwärtsdifferenzenquotient
Definiert man wie eingangs
- ,
so nennt man diesen Ausdruck auch Vorwärtsdifferenzenquotienten, da die Differenz von ausgehend „vorwärts“ nach ermittelt wird.
[Bearbeiten] Rückwärtsdifferenzenquotient
Definiert man den Differenzenquotienten dagegen als
- ,
so nennt man diesen Ausdruck Rückwärtsdifferenzenquotienten, da die Differenz von ausgehend „rückwärts“ nach ermittelt wird.
[Bearbeiten] Zentraler Differenzenquotient
Definiert man
- ,
erhält man den zentralen Differenzenquotienten. Hier wird die Differenz von ausgehend „vorwärts“ und von ausgehend „rückwärts“ nach ermittelt.