Całka Riemanna
Z Wikipedii
Całka Riemanna to jedno z podstawowych pojęć w analizie matematycznej. Była ona wprowadzona przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna jako pierwsza ścisła definicja całki.
Spis treści |
[edytuj] Intuicja
Całka funkcji f na przedziale domkniętym [a,b] jest to pewna liczba, która w przypadku funkcji dodatnich mierzy powierzchnię między wykresem funkcji a osią OX. Przypuśćmy, że oraz . Pytamy się jakie jest pole powierzchni figury . Aby obliczyć to pole, będziemy przybliżać figurę S za pomocą skończonej, choć dowolnie dużej, liczby prostokątów. Jeśli ten proces się uda, to otrzymaną wartość nazywamy całką Riemanna z funkcji f na odcinku [a,b] i oznaczamy przez
[edytuj] Sedno definicji
Całkę funkcji f można opisać jako liczbę otrzymaną w wyniku następującego procesu:
- Bierzemy pod uwagę dowolny podział przedziału [a,b] punktami na przedziały [ti,ti + 1]; następnie w każdym z takich przedziałów obieramy dowolnie punkt ξi.
- Obliczamy wszystkie iloczyny f(ξi)(ti + 1 − ti)
- Sumujemy tak obliczone wielkości
- Przechodzimy do granicy ze względu na N dążące do nieskończoności oraz ze względu na maksymalną długość przedziału [ti,ti + 1] dążącą do zera; jeśli granica ta istnieje, to ona właśnie jest szukaną całką funkcji f w sensie Riemanna.
Łatwo zauważyć, że w przypadku funkcji o wartościach dodatnich, geometrycznie powyższa procedura oznacza przybliżanie pola powierzchni pod krzywą sumą pól pewnych prostokątów; jeśli przybliżenia te są zbieżne, to właśnie granicę owej sumy nazywamy całką Riemanna. Przedstawiony tu opis, a ściślej mówiąc przejście graniczne opisane w punkcie czwartym, wymaga pewnej formalizacji.
[edytuj] Definicja
- Podziałem z punktami pośrednimi odcinka [a,b] nazwiemy każdy ciąg skończony punktów z [a,b] takich że i dla i < N.
- Powiemy że podział z punktami pośrednimi rozdrabnia podział jeśli dla każdego można wybrać tak że si = tj(i) oraz .
- Niech . Powiemy ze liczba R jest całką Riemanna z funkcji f wtedy i tylko wtedy gdy
-
- dla każdego istnieje podział z punktami pośrednimi odcinka [a,b] taki że dla każdego podziału rozdrabniającego mamy
- .
- dla każdego istnieje podział z punktami pośrednimi odcinka [a,b] taki że dla każdego podziału rozdrabniającego mamy
- Jeśli istnieje taka liczba R to powiemy że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna lub krótko, że jest -całkowalna. Liczbę tę oznaczamy wówczas
-
- .
-
Należy zwrócić uwagę że przedstawiona powyżej definicja jest jedną z wielu spotykanych w literaturze formalizacji tego pojęcia. Różnice pomiędzy używanymi definicjami są zwykle wyłącznie natury technicznej.
[edytuj] Własności
- Każda funkcja ciągła na [a,b] jest całkowalna w sensie Riemanna.
- Jeśli są całkowalne w sensie Riemanna, to funkcja αf + βg też jest całkowalna i
- Jeśli jest całkowalna w sensie Riemanna, to (jest ona całkowalna na każdym przedziale [a,x] dla oraz) funkcja
-
- jest ciągła na [a,b] i różniczkowalna w każdym punkcie ciągłości funkcji f (zob. podstawowe twierdzenie rachunku całkowego).
- Uogólnieniem pojęcia całki Riemanna jest całka Lebesgue'a w tym sensie, że jeśli funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest też całkowalna w sensie Lebesgue'a, a ponadto wartości obu całek są równe. Funkcja określona na przedziale domkniętym, całkowalna w sensie Lebesgue'a jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero. Przykładem funkcji, która jest całkowalna w sensie Lebesgue'a, a nie jest całkowalna w sensie Riemanna jest funkcja Dirichleta (w szczególności, obcięta do dowolnego przedziału domkniętego). Z drugiej strony, całka Lebesgue'a rozszerza pojęcie całkowalności na funkcje określone na szerszej klasie zbiorów.