Riemann-integrál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az integrál mint a függvénygörbe alatti terület

A matematikai analízisben az érintőprobléma mellett a másik jelentős témakör az kvadratúra problémája, vagyis a függvénygörbe alatti terület meghatározása, azaz az integrálás. Az integrálás feladata meghatározni, hogy adott [a,b] zárt és korlátos intervallumon értelmezett pozitív értékeket felvevő f függvény esetén a függvénygörbe, az x tengely és az x = a , x = b egyenesek mekkora területű síktartományt határolnak.

Folytonos függvények esetén, ezek integráljára először Cauchy adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. Riemann kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Az ennek a definíciónak megfelelő függvényeket nevezzük Riemann-integrálható függvényeknek.

Tartalomjegyzék

1 Riemann definíciója
- 1.1 Az alsó- és a felső integrálközelítő összeg
- 1.2 A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibnitz-formula
2 Határozatlan integrál
- 2.1 Nevezetes függvények primitív függvényei
- 2.2 Integrálási szabályok
3 A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma
4 Egyéb integrálok
5 Források

[szerkesztés] Riemann definíciója

Milyen adatok jellemeznek egy ilyen integrált? Az f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsóhatárának, a b-t az integrál felsőhatárának nevezzük.

Hogyan kapjuk meg ezt az értéket? Osszuk fel az intervallumot n részre az $F_n = \{ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n \}$ ponthalmazzal, ahol $a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$ . Ezt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. Az így keletkező intervallumokat nevezzük részintervallumoknak. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Jele: $d n$ (A továbbiakban az ábrán érdemes követni az itt leírtakat.)

Mindegyik $[x i - 1, x i]$ részintervallumból válasszunk ki tetszőlegesen egy $\xi_i \in [x_{i-1},x_i]$ elemet. Végiggondolható, hogy a előző ábrán szereplő három téglalap magasságai rendre

$f (ξ 1), f (ξ 2), f (ξ 3)$ , szélességeik: $x 1 - x 0$ , $x 2 - x 1$ , $x 3 - x 2$ . Így például az első területe: $f (ξ 1)(x 1 - x 0)$ . A téglalapok

$f(\xi_1)(x_1-x_0)+f(\xi_2)(x_2-x_1)+f(\xi_3)(x_3-x_2)= \sum_{i=1}^3 { f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})}$

területösszege „közel van” a keresett területhez. A

$\sigma_n =f(\xi_1)(x_1-x_0)+f(\xi_2)(x_2-x_1)+\, \cdots \, +f(\xi_n)(x_n-x_{n-1})=\sum_{i=1}^n{ f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})}$

képlettel definiált összeget az integrál egy n tagú közelítő összegének nevezzük. Ezt a

$\Delta x_1= (x_1-x_0),\Delta x_2= (x_2-x_1),\ldots, \Delta x_n=(x_n-x_{n-1})$

jelölésekkel

$\sigma_n =f(\xi_1)\Delta x_1+f(\xi_2)\Delta x_2+\, \cdots \, +f(\xi_n)\Delta x_n=\sum_{i=1}^n{ f(\xi_i)\Delta x_i}$

alakba is átírhatjuk.

A felosztásokból készíthetünk a (számsorozatok mintájára) végtelen sorozatokat: $\mathit F_1, F_3, F_{4}, \ldots$ . Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha a felosztások finomságainak $d_1, d_2, \ldots$ sorozata nullához tart a sorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.

Amennyiben minden normális felosztássorozat esetén a közelítő összeg ugyanahhoz az I számhoz tart, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon. Az I értéket nevezzük a függvény Riemann-integráljának. Jele: $\int_a^b {f(x) \,\mathrm{d}x}$ vagy röviden: $\int_a^b f$ .

A definíció szerint $\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n{ f(\xi_i)\Delta x_i} = \int_a^b {f(x) \,\mathrm{d}x},$ a $d n$ tart nullához feltétel mellett.

Bebizonyítható, hogy minden folytonos függvény Riemann-integrálható.

[szerkesztés] Az alsó- és a felső integrálközelítő összeg

Ha a $σ n$ összegben az $f (ξ i)$ helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk akkor a (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez jutunk: $S_n = \sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1})}$ ahol $M i$ a függvény felső határa (supremuma) az $[x i - 1, x i]$ intervallumon.

Hasonló a (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg definíciója is: $s_n = \sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1})},$ ahol $m i$ az függvény alsó határa (infimuma) az $[x i - 1, x i]$ intervallumon.

Amennyiben létezik az $\int_a^b f$ integrál, akkor $s_n \le \int_a^b f \le S_n$ . Ilymódon az integrált „két érték közé tudjuk szorítani”.

[szerkesztés] A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibnitz-formula

Az $I$ (véges vagy végtelen) intervallumon értelmezett f függvény primitív függvényének nevezzük az F függvényt, ha F'(x)=f (x) teljesül bármely $x\in I$ esetén. (Azaz ha F deriváltja az eredeti f függvény.)

Ha egy F(x) függvény primitív függvény, akkor F(x)+C is az. (Mivel C egy konstans, annak a deriváltja pedig nulla.) Tehát egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, de ezeket egy konstans hozzáadásával megkapjuk egymásból.

Emlékezzünk rá, hogy a derivált a függvény „változási gyorsaságát” jelentette, azaz a grafikonjának a meredekségét. Ha hozzáadunk egy konstanst, akkor a függvény képe a konstans előjelétől függően felfelé vagy lefelé tolódik. Nyilván ezzel minden pontban ugyanaz marad a meredeksége. A három grafikonon ábrázolt függvény derivált-függvénye tehát ugyanaz lesz.

Az f(x) legyen a sin x függvény. Ennek egy primitív függvénye a -cos x függvény, hiszen (-cos x)' = sin x, de a -cos x +5 függvény is primitív függvény. Általánosan a -cos x+C alakú függvények primitív függvényei a sin x függvénynek.

Bebizonyítható, hogy a határozott integrál a következőképpen számolható:
Newton–Leibnitz-formula: $\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x = \Big[ F(x) \Big]_a^b$ , ahol az F(x) függvény az f(x) függvény primitívfüggvénye, a $\Big[ F(x) \Big]_a^b$ pedig egy új jelölés az F(b)-F(a) kifejezésre.

$\int_{\pi}^{\frac{3\pi}2} \sin x \,\mathrm{d}x = \Big[ -\cos x \Big]_{\pi}^{\frac{3\pi}2}= -\cos \frac{3\pi}2 - (-\cos \pi ) = 0 - 1 = -1$

Érdemes felrajzolni a szinusz függvény grafikonját, megvizsgálni a $\big[ \pi , \frac{3\pi}2 \big]$ intervallumba eső részét. Vajon miért lesz az integrál értéke negatív?

[szerkesztés] Határozatlan integrál

A primitív függvények összességét határozatlan integrálnak vagy antideriváltnak nevezzük. Jele $\int f(x)\, \mathrm{d}x$

[szerkesztés] Nevezetes függvények primitív függvényei

$\int \sin(x)\, \mathrm{d}x = -\cos x + C$ , ahol C tetszőleges valós szám.

$\int a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \, \mathrm{d}x = \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n-1+1} x^{n+1-1} + ... + \frac{a_2}{3} x^3 + \frac{a_1}{2} x^2 + a_0 x + C$ , ahol C tetszőleges valós szám.

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x} = ln|x| + C$ , ahol C tetszőleges valós szám.

$\int e^{x} \, \mathrm{d}x = e^x + C$ , ahol C tetszőleges valós szám.

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\cos^2(x)} = \tan(x) + C$ , ahol C tetszőleges valós szám.

$\int \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \arctan(x) + C$ , ahol C tetszőleges valós szám.

[szerkesztés] Integrálási szabályok

Az integrálási szabályokat általában deriválási azonosságokból vezetjük le. Példák (f,g függvények, c valós konstans) :

$\int f + g \, \mathrm{d}x = \int f \, \mathrm{d}x + \int g \, \mathrm{d}x$

$\int f - g \, \mathrm{d}x = \int f \, \mathrm{d}x - \int g \, \mathrm{d}x$

$\int c \cdot f \, \mathrm{d}x = c \cdot \int f \, \mathrm{d}x$

$\int f \cdot g' \, \mathrm{d}x = f \cdot g - \int f' \cdot g \, \mathrm{d}x$

$\int f^n \cdot f' \, \mathrm{d}x = \frac{f^{n+1}}{n+1} + C$ , ahol C tetszőleges valós szám.

$\int \frac {f'}{f} \, \mathrm{d}x = ln |f| + C$ , ahol C tetszőleges valós szám.

[szerkesztés] A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma

Egy $[a, b]$ intervallumon értelmezett függvény pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos és $[a, b]$ majdnem minden pontjában folytonos (tehát a szakadási pontok halmaza a Lebesgue-mérték szerint nullmértékű).

[szerkesztés] Egyéb integrálok

Bár a Riemann-integrál a leggyakrabban használt integrál, van sok egyéb integrálfogalom:

a Banach-integrál
a Burkill-integrál
a Daniell-integrál
a Darboux-integrál, a Riemann-integrál egy variációja
a Denjoy-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása
a Dirichlet-integrál
az Euler-integrál
a Fejér-integrál
a Haar-integrál
a Henstock-Kurzweil-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása (HK-integrál, valamint Kurzweil-Henstock-integrál néven is)
a Henstock-Kurzweil-Stieltjes integrál (HK-Stieltjes-integrál néven is)
az Itô-integrál
az Itô-Stieltjes-integrál
a Lebesgue-integrál
a Lebesgue-Stieltjes-integrál (Lebesgue-Radon-integrál néven is)
a mérték szerinti integrál, az integrálfogalom legfontosabb mértékelméleti általánosítása
a Perron-integrál, ami ekvivalens a tiltott Denjoy-integrállal
a Poisson -integrál
a Radon-integrál
a Stieltjes-integrál, a Riemann-integrál kiterjesztése (Riemann-Stieltjes-integrálnak is nevezik)
a sztochasztikus integrál
a Wiener-integrál
a Young-féle integrál

[szerkesztés] Források

Durszt E. (1995): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
Imreh Cs. (1997): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
Leindler L. (1995): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
Medvegyev P. (2004): Szochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
Mikolás M. (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.

Kategória: Valós analízis

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.