Teorema fundamental del cálculo integral

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El teorema fundamental del cálculo integral consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

Una consecuencia directa de este teorema, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular la integral de una función utilizando la antiderivada de la función a ser integrada.

Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

Tabla de contenidos

1 Los teoremas fundamentales del cálculo integral
2 Véase también
3 Enlaces externos

[editar] Los teoremas fundamentales del cálculo integral

Dada una función $f$ integrable sobre el intervalo $[a, b]$ , definimos $F$ sobre $[a, b]$ por $F(x) = {\int_{\alpha}^x f(t)dt}$ con $\alpha \in [a,b]$ fijo. El teorema dice que si $f$ es continua en $c \in [a,b]$ , entonces $F$ es derivable en c y F'(c) = f(c).

[editar] Demostración

Lema importante

Sea $f$ integrable sobre $[a, b]$ y

$m \leq f(x) \leq M \forall x \in [a,b]$

Entonces

$m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)$

Demostración

Hipótesis:

Sea $c \in [a,b]$ .

Sea $f$ función integrable sobre el intervalo

[a, b]

y continua en c.

Sea $F$ una función sobre

[a, b]

definida así: $F(x)= \int_{\alpha}^x f(t)dt$ con $\alpha \in [a,b]$

Tesis:

F'(c)=f(c)

Por definición se tiene que $F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }$ .

Sea h>0. Entonces $F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}$ .

Se define $m h$ y $M h$ como:

$m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}$ ,

$M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}$

Aplicando el 'lema' se observa que

$m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h$ .

Por lo tanto,

$m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h$

Sea $h < 0$ . Sean

${m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}$ ,

${M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}$ .

Aplicando el 'lema' se observa que

${m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h)$ .

Como

$F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt}$ ,

entonces

${m^*}_h \cdot h \geq F(c+h)-F(c) \geq {M^*}_h \cdot h$ .

Puesto que $h < 0$ , se tiene que

${m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h$ .

Y como $f$ es continua en c se tiene que

$\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c)$ ,

y esto lleva a que

$F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c)$ .

[editar] Ejemplos

$F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \Rightarrow F'(x) = x^2$

$H(x) = \int_{10}^{e^{3x}} sen(t) dt \Rightarrow H'(x) = sen(e^{3x}) e^{3x} 3$

$G(x) = \int_{0}^{x^2} arcsen(t) dt \Rightarrow G'(x) = arcsen(x^2) 2x$

[editar] Segundo teorema fundamental

También se le llama la Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow.

Dada una función $f$ continua en el intervalo $[a, b]$ y sea $g$ cualquier función primitiva de $f$ , es decir g'(x)=f(x) para todo $x \in [a,b]$ , entonces:

$\int_{a}^{b} f(x) dx = g(b) - g(a)$