ベジェ曲線
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ベジェ曲線 (べじぇきょくせん , Bézier Curve) は、N 個の制御点から得られる N - 1 次曲線である。ベジエ曲線と表記されることもある[1]。
フランスの自動車メーカー、ルノー社の技術者であるピエール・ベジェ (Pierre Bézier) が考案した。
制御点を B0, B1, ..., BN-1 とすると、ベジェ曲線は
と表現される。ここで、Jni(t) はバーンスタイン基底関数のブレンディング関数である。
t が 0 から 1 まで変化する時、B0 から BN-1 までの曲線が得られるが、これがベジェ曲線であり、一般にはその他の制御点は通らない。
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[編集] 作図法
上記定義はたいへん複雑であるが、その描画は比較的簡単である。3次のベジェ曲線（4個の制御点で示される曲線）で説明をする。
右図の P0, P1, P2, P3 が与えられた制御点である。今、ベジェ曲線の P0 から t (0 < t < 1) の比率の位置の点の座標を求めるためには、次のように計算すればよい。
まず、制御点を順に結んで得られる3つの線分 P0 - P1, P1 - P2, P2 - P3（緑色の線）をそれぞれ t : 1 - t の比率で分割する点、P4, P5, P6 を求める。
次に、これらの点を順に結んで得られる2つの線分 P4 - P5, P5 - P6（赤色の線）を再びそれぞれ t : 1 - t の比率で分割する点 P7, P8 を求める。
最後に、この2点を結ぶ線分 P7 - P8（黄色の線）をさらに t : 1 - t の比率で分割する点 P9 を求めると、この点がベジェ曲線上の点となる。
この作業を 0 < t < 1 の範囲で繰り返し行う事により、P0, P1, P2, P3 を制御点とする3次ベジェ曲線（青い曲線）が得られる。
[編集] 応用
コンピュータ上で滑らかな曲線を書く場合にベジェ曲線を利用することが多い。ベクターグラフィクス、とりわけ文字の描画によく使われる。(参照：Type1フォント)
特に、3次のベジェ曲線が多く用いられている。これは、始点と第1制御点の線分が始点における曲線の接線になり、第2制御点と終点が終点における曲線の接線になるため、直感的に理解しやすいことにある。また、始点と第1制御点の距離によって始点付近の曲率が制御できるため、作図を行うソフトウェア（ドローソフト）で手作業により曲線を描く際に線の形を整えやすい。
[編集] 脚注
- ^ 原語の発音に近い表記では「ベズィエ」であり、ベジエの方がベジェよりもそれに近い。
[編集] 関連項目
[編集] 外部リンク
- Bezier Surface C言語とOpenGLによるベジェ曲面（線）の描画方法（英語版）
