เส้นโค้งเบซิเยร์
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ในคณิตศาสตร์ เส้นโค้งเบซิเยร์ (Bézier curve) ถือว่าเป็นเส้นโค้งหนึ่งที่มีความสำคัญอย่างมากในเรื่องของ คอมพิวเตอร์กราฟิกส์ เพราะวิธีการที่เสถียรที่สุด ในการสร้างจุดต่างๆบนเส้นโค้งเบซิเยร์สามารถทำได้โดยใช้ อัลกอริทึมของเดอคาสเซิลโจ (de Casteljau's algorithm) รูปแบบหนึ่งของเส้นโค้งเบซิเยร์เมื่อเพิ่มมิติให้สูงขึ้น เราเรียกว่า พื้นผิวเบซิเยร์ โดยมี พื้นผิวสามเหลี่ยมเบซิเยร์ เป็นรูปแบบพิเศษอีกแบบหนึ่ง
เส้นโค้งเบซิเยร์ถูกเผยแพร่สู่สาธารณชนเป็นครั้งแรกเมื่อปี พ.ศ. 2505 โดยนักวิศวกรชาว ฝรั่งเศส ที่ชื่อ ปิแอร์ เบซิเยร์ (Pierre Bézier) ซึ่งขณะนั้นเป็นนักวิชาการอยู่ในแผนกออกแบบที่บริษัทรถยนต์ยี่ห้อเรโนลด์ แต่ในความเป็นจริงแล้ว เส้นโค้งนี้ได้ถูกคิดค้นเป็นครั้งแรก เมื่อปี พ.ศ. 2502 โดยนายพอล เดอ คาสเซิลโจ (Paul de Casteljau)
เนื้อหา |
[แก้] สมการเส้นโค้งเบซิเยร์
นิยาม เส้นโค้งเบซิเยร์ที่ดีกรี n สามารถเขียนเป็นสมการได้จาก จุดควบคุมที่กำหนดให้ p0, p1,..., pn ดังนี้
![\mathbf{B}(t)=\sum_{i=0}^n {n\choose i}(1-t)^{n-i}t^i \mathbf{p}_i \mbox{ , } t \in [0,1].](../../../../math/2/a/0/2a0cb0d288370bfd4a8a453b92f2f393.png)
[แก้] ตัวอย่าง
[แก้] เส้นโค้งเบซิเยร์เชิงเส้น
กำหนดให้ จุดควบคุมมี 2 จุด คือ p0 และ p1 เส้นโค้งเบซิเยร์เชิงเส้นก็คือส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดนั่นเอง โดยมีสมการคือ
![\mathbf{B}(t)=(1-t)\mathbf{p}_0 + t\mathbf{p}_1 \mbox{ , } t \in [0,1].](../../../../math/8/f/a/8fa78ab3a03209e7270757285b203fe4.png)
[แก้] เส้นโค้งเบซิเยร์กำลังสอง
กำหนดให้ จุดควบคุมมี 3 จุด คือ p0 p1 และ p2 เส้นโค้งเบซิเยร์กำลังสอง มีสมการ คือ
![\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{p}_0 + 2t(1 - t)\mathbf{p}_1 + t^{2}\mathbf{p}_2 \mbox{ , } t \in [0,1].](../../../../math/c/b/6/cb653122352cbabf7a773bca138c4a72.png)
[แก้] เส้นโค้งเบซิเยร์กำลังสาม
กำหนดให้ จุดควบคุมมี 4 จุด คือ p0 p1 p2 และ p3 เส้นโค้งเบซิเยร์กำลังสาม มีสมการ คือ
![\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{3}\mathbf{p}_0 + 3t(1 - t)^2\mathbf{p}_1 + 3t^2(1 - t)\mathbf{p}_2 + t^{3}\mathbf{p}_3 \mbox{ , } t \in [0,1].](../../../../math/9/a/1/9a188e134f6717c0a1c5fa6dbe72fd0f.png)
[แก้] แหล่งข้อมูลอื่น
- Bezier Curves interactive applet
- 3rd order Bezier Curves applet
- Living Math Bézier applet
- Living Math Bézier applets of different spline types, JAVA programming of splines in An Interactive Introduction to Splines
- Don Lancaster's Cubic Spline Library describes how to approximate a circle (or a circular arc, or a hyperbola) by a Bézier curve; using cubic splines for image interpolation, and an explanation of the math behind these curves.
