ビオ・サバールの法則

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ビオ・サバールの法則（ビオ・サバールのほうそく、Biot-Savart law）とは定常電流の回りに出来る磁場についての法則で、

$d\mathbf{H} = \frac{I d\mathbf{l} \times \hat \mathbf{r}}{4 \pi r^3}$

で表されるというもの。1820年にフランスの物理学者ジャン＝バティスト・ビオとフェリックス・サバールによって発見された。

電流が、ある程度の幅をもって流れており、その内部で電流が一定でないときは電流密度 j を用いて、

$\mathbf{H} =\int \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}') \times \widehat{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}}{4 \pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} d^3 r'$

この法則は、静電場におけるクーロンの法則に対応するものである。この法則は積分を実行して始めて有効な値が出る。

ビオ・サバールの法則は積分することによりアンペールの法則の磁場と一致する。

図より、

$r = \frac{a}{\sin \theta} \qquad s = -\frac{a}{\tan \theta}$

となるから、

$\frac{ds}{d\theta} = \frac{a}{\sin^2 \theta}$

ビオ・サバールの法則を積分して、

$H = \frac{1}{4 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{I\sin \theta}{r^2}\, ds$

$=\frac{1}{4 \pi}\int_{0}^{\pi} \frac{I\sin \theta}{r^2}\frac{a}{\sin^2 \theta}\, d\theta = \frac{I}{4 \pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin \theta}{a}\, d\theta = \frac{I}{4 \pi a}\left[ -\cos \theta \right]_0^\pi$

$=\frac{I}{2 \pi a}$

よってこれはアンペールの法則の磁場の大きさと一致する。

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