Закон на Био-Савар

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Законът на Био-Савар (по-рядко наричан още Закон на Био-Савар-Лаплас) дава връзката между тока $\scriptstyle{\mathbf{I}}$ и магнитното поле $\scriptstyle{\mathbf{B}}$ , което той създава. Кръстен е на двамата френски математици Жан-Батист Био (Jean-Baptiste Biot) и Феликс Савар (Félix Savart). В сила е само за статични магнити полета и обикновено се прилага в по-прости случаи, вместо закона на Ампер.

[редактиране] Математично представяне

$\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int I\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{l} \times \frac{\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r}'}{|\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r}'|^3}$

където:

$\scriptstyle{\mathbf{B}}$ е магнитното поле, което създава проводникът,

$\scriptstyle{\mu_0}$ е магнитната константа,

$\scriptstyle{I}$ е токът,

$\scriptstyle{\mathrm{d}l}$ е безкрайно малко парче от проводника, а векторът $\scriptstyle{\mathrm{d}\mathbf{l}}$ сочи в посока на тока,

$\scriptstyle{\mathbf{r}}$ е радиус-векторът на точката, в която се създава магнитното поле,

$\scriptstyle{\mathbf{r}'}$ е радиус-векторът на безкрайно малкото парче проводник.

Ако се използва връзката между тока $\scriptstyle{I}$ и плътността му $\scriptstyle{\mathbf{j}}$ :

$I \cdot\mathrm{d}\overrightarrow{l} = \overrightarrow{v} \cdot \mathrm{d}q = \overrightarrow{v}\cdot \rho \cdot \mathrm{d}V = \overrightarrow{j} \cdot \mathrm{d}V,$

законът може да се представи и като интеграл по обема:

$\overrightarrow B(\overrightarrow r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V}\overrightarrow j(\overrightarrow{r}')\times\frac{\overrightarrow r-\overrightarrow{r}'}{|\overrightarrow r-\overrightarrow{r}'|^3}\;\mathrm{d}{V'}.$

В повечето случаи е удобно да се работи само с едни радиус-вектор. В такъв случай, можете да заместите $\scriptstyle{\mathbf{r}'=0}$ без да нарушите валидността на закона. Също така можете да изразите $\scriptstyle{\mathbf{r}}$ чрез единичния вектор $\scriptstyle{\hat\mathbf{r}}$ :

$\frac{\overrightarrow r}{r^3}=\frac{\overrightarrow {\hat r}}{r^2}.$

Всичките тези формулировки са математически еквивалентни, просто в различните ситуации някои ще Ви се сторят по-подходящи от други.

[редактиране] Приложение

[редактиране] Магнитно поле на движещ се точков заряд

Магнитното поле, което създава точков заряд, движещ се с постоянна и нералитивистка скорост, се смята по следната формула:

$\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{ q \cdot \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{\hat{r}}}{r^2}.$

В случая просто е използвана връзката между тока и скоростта на заряда, показана по-горе.

[редактиране] Безкрайно дълъг прав проводник

Магнитното поле на безкрайно дълъг проводник

В триизмерното пространство за векторното произведение важи следното:

$\mathrm {d}\!\overrightarrow l\times\overrightarrow r=\mathrm {d}l\cdot r \sin \phi=\mathrm {d}l\cdot r \sin \theta.$

Също така:

$\frac {a}{r}=\cos \theta \Rightarrow r=\frac{a}{\cos \theta};$

$\frac {l}{a}=\tan \theta \Rightarrow \mathrm {d}l=a\cdot \frac {\mathrm{d} \theta}{\cos^2 \theta}.$

При заместване в израза за магнитното поле се получава:

$\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \limits_{-\infty}^{+\infty} I\cdot\mathrm{d}\!\overrightarrow{l} \times \frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}^3|} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} I\cdot\ \frac{\mathrm{d}l \cdot r \cos \theta}{r^3} =$

$=\frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi}\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \frac{a \cos \theta \mathrm{d} \theta}{r^2 \cos^2 \theta} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi}\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \frac{a \cos^3 \theta \mathrm{d} \theta}{a^2 \cos^2 \theta} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi\cdot a} \int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \cos \theta \mathrm{d}\theta.$

Магнитното поле на безкрайно дълъг проводник е:

$B = \frac{\mu_0 \cdot I}{2\pi\cdot a}$

Посока на полето се определя по правилото на дясната ръка.

[редактиране] Прав проводник с крайна дължина

[редактиране] Кръгла проводяща рамка

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Biot-Savart law“ и страницата „Biot-Savart-Gesetz“ в Уикипедия на английски и немски. Оригиналните статии, както и този превод, са защитени от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналните статии тук и тук, за да видите списъка на тяхните съавтори.

Категории: Електромагнетизъм | Магнетизъм

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Закон на Био-Савар

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Съдържание

[редактиране] Математично представяне

[редактиране] Приложение

[редактиране] Магнитно поле на движещ се точков заряд

[редактиране] Безкрайно дълъг прав проводник

[редактиране] Прав проводник с крайна дължина

[редактиране] Кръгла проводяща рамка

Views

Навигация

Търсене

На други езици