パスカルの三角形

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$\begin{matrix} &&&&&1\\ &&&&1&&1\\ &&&1&&2&&1\\ &&1&&3&&3&&1\\ &1&&4&&6&&4&&1 \end{matrix}$

パスカルの三角形の最初の5段

パスカルの三角形（-さんかくけい、Pascal's triangle）は、二項展開における係数を三角形状に並べた物である。パスカルの名前がついているが、実際にはパスカルより何世紀も前の数学者たちも研究していた。

この三角形の作り方は単純なルールに基づいている。まず最上段に1を配置する。それより下の行はその位置の右上の数と左上の数の和を配置する。例えば、5段目の左から2番目には、左上の1と右上の3の合計である4が入る。このようにして数を並べると、上から n 段目、左から k 番目の数は、二項係数

${n-1 \choose k-1}$

に等しい（_n-1C_k-1 と表すこともある）。これは、パスカルによって示された以下の式に基づいている。

負でない整数 n ≥ k に対して

${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$

${n \choose 0} = {n \choose n} = 1$

が成り立つ。

パスカルの三角形は三次元以上に拡張が可能である。3次の物は「パスカルのピラミッド」「パスカルの四面体」と呼ばれる。4次以上のものは一般に「パスカルの単体」と呼ばれる。

[編集] 三角形

パスカルの三角形の最初の10段は以下のようになる。

[編集] パスカルの三角形の使用

パスカルの三角形は、二項展開でよく使用される。例えば

(x + y)² = 1x² + 2x y + y²

のそれぞれの係数は三角形の3段目の数 1 2 1 と一致する。一般に

(x + y)ⁿ = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹y + a₂xⁿ⁻²y² + … + a_n−1xyⁿ⁻¹ + a_nyⁿ

とおくと、a_i たちは、パスカルの三角形の n + 1 段目に並んでいる数である。このことは帰納法により示すことができる。まず、n = 0, 1 の場合は明らかである。次に、

$(x+y)^n=\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i}y^i$

とすると、

$\begin{align} (x+y)^{n+1} &=x(x+y)^n+y(x+y)^n \\ &=\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i+1} y^i+\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i} y^{i+1} \\ &=\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i+1} y^i+\sum_{i=1}^{n+1} a_{i-1} x^{n-i+1} y^i \\ &=a_0x^{n+1}+\sum_{i=1}^n a_i x^{n-i+1} y^i+\sum_{i=1}^n a_{i-1} x^{n-i+1} y^i+a_n y^{n+1} \\ &=x^{n+1}+\sum_{i=1}^n (a_{i-1}+a_i) x^{n-i+1} y^i+y^{n+1} \end{align}$

となる。

2ⁿ 段からなるパスカルの三角形の奇数のみを塗りつぶすと、シェルピンスキーのギャスケットの一部分が出現する。2以外の数で割った余りによって塗りわけをしても、同様に異なるフラクタル模様の一部分が出現する。

二項係数は組合せの数でもあるので、組合せ数学においてもパスカルの三角形は有用である。n 個のものから異なる r 個選ぶ選び方 _nC_k の値は、パスカルの三角形の (n + 1) 段目の端から (k + 1) 番目の数に等しい。

[編集] パスカルの三角形の性質

パスカルの三角形の最も単純な性質として、以下のようなものがある。

頂上から右下・左下の方向へ並ぶ数字はすべて1である。
2行目には自然数の列が現れる。
その次の行には三角数の列が現れる。
さらに次の行には三角錐数の列が現れる。一般的に n 行目には n 次元単体数が現れる。

$\textrm{tri}_1(n) = n \quad\mbox{and}\quad \textrm{tri}_{d}(n) = \sum_{i=1}^n \mathrm{tri}_{d-1}(i).$

三角形の各数字が最上段の位置を頂点とした斜めの格子の上にあると仮定したとき、各数字は最上段の1から格子の線を通って最短距離でその場所に着く経路の数となる。

パスカルの三角形とフィボナッチ数

他の性質としては、フィボナッチ数に関する物がある。左側2列の任意の数字から桂馬跳びの様に斜めに数字を拾い、その合計を取るとフィボナッチ数になる。例えば5段目の4から始め 4, 10, 6, 1 の4つの数字（右の図で四角で囲まれている物）を拾うと、その合計は 21 となり、これはフィボナッチ数である。同様に、5段目の1から始めて 1, 10, 15, 7, 1 の5つの数字（右の図の網がかかったもの）の合計は 34 となる。

m 段目にあるそれぞれの数を2乗して足すと、2m - 1 段目の中央の数になる。例えば、5段目では 1² + 4² + 6² + 4² + 1² = 70 となり、9段目の中央の数に一致する。これは、以下の式に基づいている。

$\sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}$

奇数段目の中央の数字からその2つ隣の数を引くと、カタラン数になる。例えば、7段目の中央の20からその2つ横の 6 を引くと 20 - 6 = 14 であり、これは4番目のカタラン数に等しい。

また、m 段目のそれぞれの数字の合計は、2^m-1 となる。例えば、5段目に出現する数字の合計は 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 であり、この値は 2^5-1 に等しい。これは、2^m-1 = (1 + 1)^m-1を二項展開することで容易に示すことができる。

ある段の端から2番目の数 p が素数のとき、その段の両端以外の数字は p の倍数となる。

[編集] 歴史と名称

朱世傑 (en) の四元玉鑑 (1303年) における楊輝の三角形

この三角形について確認できる最古の文献は、紀元前450年頃にインドの数学者ピンガラ (en) によって書かれたとされているサンスクリットによる詩集 Meru-prastaara『須弥山の階段』である。この著者は、三角形とフィボナッチ数との関係についても理解していたとされている。

中国では11世紀に数学者の賈憲 (en)、13世紀に数学者の楊輝 (en) がこの三角形を研究しており、同国内ではこの三角形は「賈憲三角形」または「楊輝三角形」と呼ばれている。

ペルシャでは、アル=カラジ (en) とウマル・ハイヤームが研究しており、イラン国内では「ハイヤームの三角形」と呼ばれる。ハイヤームは、二項定理を含むいくつかの定理がこの三角形に含まれることを知っており、n 次の二項展開の係数を求める方法を知っていたと考えられる。

イタリアでは、三次方程式の解法で知られるタルタリア (en) にちなみ「タルタリアの三角形」と呼ばれる。なお、「タルタリアの三角形」には別のものもある。

ブレーズ・パスカルは1655年に発表した『Traité du triangle arithmétique』の中でこの三角形について言及している。彼はこの中で今までに知られていた結果をまとめ、確率論の研究に利用している。

パスカルより後の数学者では、アブラーム・ド・モアブルらが「算術の三角形」と呼んでいる。

[編集] 関連項目

二項定理

カテゴリ: 代数学 | 初等数学 | 組合せ論 | 数学に関する記事

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