Pascal-þríhyrningur

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Pascal-þríhyrningur er í stærðfræði þríhyrningur af tölum sem raðað er upp eftir kerfi sem Blaise Pascal lýsti, sem nú er þekkt sem Einkenni Pascals:

${n+1 \choose k} = {n \choose k-1} + {n \choose k}$ .

Þessi eiginleiki gerir það að verkum að hægt er að raða niðurstöðunum upp á eftirfarandi hátt:

[breyta] Eiginleikar Pascal þríhyrningsins

[breyta] Ellefu-veldið

Sjá má mjög fljótlega að fyrstu raðir Pascal-þríhyrningsins stafa út n-ta veldi af 11:

110 = 1

111 = 11

112 = 121

113 = 1331

114 = 14641

Reglan fellur þó ekki um sig á efri stigum, heldur verður hún bara ekki jafn ljós - $11^5 \ne 15101051$ , augljóslega, heldur $115 = 161051$ . Þ.e., þar sem að tugir koma fyrir í gildum þríhyrningsins legst tugurinn við næsta sæti fyrir ofan, og einingin verður eftir.

[breyta] Einkenni Vandermondes

Lát $m, n, r \in \mathbb{N}; r < n; r < m$ . Þá gildir:

${m+n \choose r} = \sum^r_{k=0} {m \choose r-k}{n \choose k}$ .

Þessi regla er kennd við Alexandre-Théophile Vandermonde, sem uppgötvaði regluna á átjándu öld.

[breyta] Tvíliðureglan

Tvíliðureglan notast við stuðla úr Pascal-þríhyrningnum. Til dæmis er $(a + b) 4 = (1) a 4 + (4) a 3 b + (6) a 2 b 2 + (4) a b 3 + (1) b 4$ , en stuðlarnir (í svigum) passa við 5. línu Pascal þríhyrningsins (fyrsta línan samsvarar $(a + b) 0$ ).

[breyta] Fibbonacci runan

Fibbonacci runan kemur fyrir í skálínum Pascal-þríhyrningsins:

Fibbonacci runan í Pascal þríhyrningnum.

Ef summaðar eru upp gráleitu tölurnar er summan stak í Fibbonacci rununni. Sama gildir um innrömmuðu tölurnar, og hvaða skálínu sem er.

[breyta] Sönnun á einkenni Pascals

Ímyndum okkur að til sé mengi $T$ sem hefur $n + 1$ stak. Lát $a$ vera stak í $T$ og lát $S = T \setminus \left\{a\right\}$ . Sjáum að til eru ${n+1 \choose k}$ hlutmengi í $T$ sem innihalda $k$ stök (Sjá: Samantektir). Hinsvegar inniheldur hlutmengi í $T$ með $k$ stökum ýmist $a$ , ásamt $k - 1$ öðrum stökum úr $S$ , eða það inniheldur $k$ stök úr $S$ en ekki $a$ . Þar sem að það eru ${n \choose k-1}$ hlutmengi af $k - 1$ staki úr $S$ , þá eru til ${n \choose k-1}$ hlutmengi með $k$ stökum úr $T$ sem innihalda $a$ . Auk þess eru ${n \choose k}$ hlutmengi af $T$ með $k$ stökum sem innhalda ekki $a$ , þar sem að það eru ${n \choose k}$ hlutmengi af $S$ með $k$ stökum. Þar af leiðir: