Pascalin kolmio
Wikipedia
Pascalin kolmio on matematiikassa binomikertoimista kolmion muotoon koottu järjestelmä. Pascalin kolmio nimettiin ranskalaisen matemaatikon Blaise Pascalin mukaan. Pascal itse ei keksinyt Pascalin kolmion käsitettä, sillä jo muinaiset persialaiset, kiinalaiset, intialaiset ja italialaiset tunsivat sen.[1][2] Kuitenkin vasta Pascal havaitsi sen käyttökelpoisuuden moninaisissa matemaattisissa ongelmissa.
Pascalin kolmio voidaan muodostaa siten, että ylhäältä alaspäin edettäessä jokainen uuden rivin luku on sen yläpuolella vasemmalla ja oikealla puolella olevien lukujen summa. Jokainen reunalla oleva luku on 1. Alla Pascalin kolmion rivit nollasta kymmeneen:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Kertoimien yhteenlaskusäännön voi täydentää sijoittamalla tyhjille paikoille ykkösten vasemmalle ja oikealle puolelle nollia.
[muokkaa] Pascalin kolmion ominaisuuksia
- Pascalin kolmion kunkin vaakarivin luvut ovat rivin järjestysluvun mukaiset binomikertoimet. Järjestysluku on vasemmalta oikealle edettäessä rivin toinen luku. Kolmiosta nähdään esimerkiksi suoraan, että binomin (a + b)4 kertoimet ovat 1, 4, 6, 4 ja 1 eli (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 tai että 113 = (10 + 1)3 = 103 + 3·102 + 3·10 + 1 = 1331.
- Kunkin Pascalin kolmion rivin lukujen summa on kaksi korotettuna rivin järjestysluvun osoittamaan potenssiin. Esimerkiksi 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23.
- Reunojen jälkeen seuraavat vinoittain menevät luvut ovat luonnollisia lukuja: 1, 2, 3, 4, 5 ja niin edelleen.
- Sisemmälle päin mentäessä seuraavat vinoittain menevät luvut ovat kolmiolukuja: 1, 3, 6, 10, 15 ja niin edelleen.
- Sisemmälle päin mentäessä seuraavat vinoittain menevät luvut ovat tetraedrilukuja: 1, 4, 10, 20, 35 ja niin edelleen.
