バーゼル問題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

バーゼル問題（-もんだい、Basel problem）とは級数の問題の一つで、Pietro Mengoli によって1644年に提起され、レオンハルト・オイラーが1735年に解いたものである。この問題の一般化を解いたオイラーのアイディアをベルンハルト・リーマンが取り入れ、1859年の彼の論文「与えられた数より小さい素数の個数について」でゼータ関数を定義し、その性質を調べることにつながった。バーゼルとはオイラーの故郷であり、この問題を解くのに失敗したベルヌーイ一家の地でもある。

バーゼル問題は、平方数の逆数を足し合わせた値はいくらかという問題である。すなわち、現代的な用語では、次の無限級数の値を求めよという問題である。

$\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right)$

これは、ゼータ関数

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}$

に s = 2 を代入した ζ(2) でもある。答えは円周率を π とすると $\frac{{\pi}^2}{6}$ (= 1.644934…) である。

[編集] 収束することの証明

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{4 \cdot 4} + \cdots$

$< 1 + \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2} + \frac{1}{4 \cdot 3} + \cdots = 1 + \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)}$

$=1 + \sum_{n=2}^\infty \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) = 1 + \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots = 2$

したがって $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} < 2$ であり、この級数は収束する。一般にゼータ関数 ζ(s) は s > 1 の範囲で収束する。

[編集] オイラーの解法

オイラーは三角関数のマクローリン展開を利用して問題を解く方法を編み出した。まずは sin x を

$\sin x = \frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

と展開する。この両辺を x で割ると

$\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{1!} - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots \quad -(1)$

となる。左辺の $\frac{\sin x}{x}$ は x = ± nπ（n は自然数）のとき 0 になるので形式的に以下のように「因数分解」できる。

$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x}{1 \pi}\right)\left(1 + \frac{x}{1 \pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots$

隣り合った二項を掛けあわせると

$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{1^2 \pi^2}\right) \left(1 - \frac{x^2}{2^2 \pi^2}\right) \left(1 - \frac{x^2}{3^2 \pi^2}\right) \cdots \quad -(2)$