ebooksgratis.com

Web Analytics Made Easy - Statcounter

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions

Baselproblemet - Wikipedia, den fria encyklopedin

Baselproblemet

Från Wikipedia

Baselproblemet formulerades 1644 av Pietro Mengoli och löstes av Leonhard Euler 1735. Bernhard Riemann, som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas Riemanns zeta-funktion.

Problemet är att finna vad serien

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

konvergerar mot.

[redigera] Eulers lösning

För att visa detta samband utgick Euler från maclaurinutvecklingen av sinus:

$\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots$

För ekvationen $sin z = 0$ blir en rot $z = 0$ , och för övriga gäller enligt ovan:

$1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} - \frac{z^6}{7!} + \cdots = 0$

(1)

Med variabelbytet $w = z 2$ får vi följande ekvation:

$1 - \frac{w}{3!} + \frac{w^2}{5!} - \frac{w^3}{7!} + \cdots = 0$

(2)

De nollskilda lösningarna till $sin z = 0$ är $z = \pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \ldots$ vilket ger $w_1 = \pi^2, w_2 = (2\pi)^2, w_3 = (3\pi)^2, \ldots$ som lösningar till ekvationen ovan.

Detta kombinerade Euler nu med sambandet att om $x_{1}, x_{1}, \ldots, x_{n}$ är rötter till ekvationen $x^n + a_{1}x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}x + a_n = 0$ gäller:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n} = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$

Tillsammans med ekvation 2 får vi då ( $a_{n-1} = -\frac{1}{6}$ och $a n = 1$ ):

$\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{(2\pi)^2} + \frac{1}{(3\pi)^2} + \cdots = \frac{1}{6}$

(3)

Genom att multiplicera detta med $π 2$ följer att

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

[redigera] Referenser

Boris Sjöberg. Från Euklides till Hilbert. Åbo Akademis förlag, 2001. ISBN 952-9616-44-9.

Kategori: Matematisk analys

Views

Sök

Andra språk

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -