Teorema delle contrazioni

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Il teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli o teorema delle contrazioni è un importante strumento nella teoria degli spazi metrici; garantisce l'esistenza e l'unicità di un punto fisso per determinate mappe di spazi metrici su sé stessi, e fornisce un metodo costruttivo per trovarli. Il teorema prende il nome da Stefan Banach (1892-1945) e da Renato Caccioppoli (1904-1959), ed è stato formulato la prima volta da Banach nel 1922. Caccioppoli giungerà autonomamente a questo risultato nel 1931.

[modifica] Il teorema

Sia (X, d) uno spazio metrico completo non vuoto. Sia T : X → X una contrazione su X, vale a dire: esiste un numero reale 0 <q < 1 tale che

$d(Tx,Ty) \le q\cdot d(x,y)$

per ogni x, y in X. Allora la mappa T ammette uno e un solo punto fisso x^* in X (questo significa Tx^* = x^*). Inoltre questo punto può essere trovato come segue: si parte con un elemento arbitrario x₀ in X e si definisce una successione ricorrente x_n = Tx_n-1 per n = 1, 2, 3, ... Questa successione converge, e il suo limite è x^*. La disuguaglianza seguente descrive la velocità di convergenza:

$d(x^*, x_n) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0)$ .

Equivalentemente,

$d(x^*, x_{n+1}) \leq \frac{q}{1-q} d(x_{n+1},x_n)$

$d(x^*, x_{n+1}) \leq q d(x_n,x^*)$ .

Il valore minimo di q è talvolta chiamato costante di Lipschitz.

Si osservi che la condizione d(Tx, Ty) < d(x, y) per x e y distinti (soddisfatta da funzioni contrattive) non è in generale sufficiente ad assicurare l'esistenza di un punto fisso, come è mostrato dalla mappa T : [1,∞) → [1,∞) con T(x) = x + 1/x, che non ha punti fissi. Tuttavia, se lo spazio X è compatto, allora questa assunzione più debole implica tutte le conclusioni del teorema.

Quando si usa il teorema in pratica, la parte più difficile è in genere definire X opportunamente in modo che T porti elementi da X a X, cioè che Tx sia sempre un elemento di X.

[modifica] Corollario

Sotto le ipotesi su X del teorema precedente, se T: X → X è una funzione tale che, per qualche p numero naturale l'iterata T^p è una contrazione, allora T ammette un unico punto fisso.

[modifica] Applicazioni

L'applicazione standard è nella dimostrazione del teorema di Picard-Lindelöf riguardo all'esistenza e all'unicità di soluzioni di determinate equazioni differenziali ordinarie. La soluzione cercata è espressa come un punto fisso di un opportuno operatore integrale che trasforma funzioni continue in funzioni continue. Il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli è quindi usato per mostrare che questo operatore integrale ha un unico punto fisso.

Un'altra applicazione è una dimostrazione del teorema della funzione implicita in spazi di Banach.

[modifica] Inversi

Esistono molti teoremi inversi del teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli. Il seguente è dovuto a Czeslaw Bessaga, nel 1959:

Sia $f:X\rightarrow X$ una mappa di un insieme tale che ogni iterata fⁿ ha un unico punto fisso. Sia q un numero reale, 0 < q < 1. Allora esiste una metrica completa su X tale che f sia una contrazione, e q è la costante di contrazione.

[modifica] Bibliografia

(EN) Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
(EN) Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
(EN) William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.