Theorem pwynt arhosol Banach

Oddi ar Wicipedia

Mae theorem pwynt arhosol Banach (hefyd theorem mapiadau cyfangiadol neu egwyddor mapiadau cyfangiadol) yn arf pwysig mewn haniaeth gofodau metrig; mae'n sicrhau bodolaeth ac unigrwydd pwyntiau arhosol ffwythiannau arbennig o ofodau metrig, ac yn rhoi dull o ganfod y pwyntiau hynny. Enwyd y theorem ar ol Stefan Banach (1892-1945), ac fe'i mynegwyd yn gyntaf ganddo ym 1922.

[golygu] Y theorem

Gadewch i (X, d) fod yn ofod metrig cyflawn. Gadewch i T : X → X fod yn ffwythiant cyfangiadol ar X, hynny yw: mae yna rhif real q nad yw'n negatif sy'n bodlonni

$d(Tx,Ty) \le q\cdot d(x,y)$

ar gyfer pob x ac y in X. Yna, mae gan y ffwythiant T bwynt arhosol unigryw x^* mewn X (golyga hyn fod Tx^* = x^*). Ymhellach, gellir canfod y pwynt arhosol fel a ganlyn: cychwynwch gydag elfen mympwyol x₀ o X, a diffiniwch dilyniant iterus gyda x_n = Tx_n-1 ar gyfer n = 1, 2, 3, ... Mae'r dilyniant hwn yn cydgyfeirio, a'i derfan yw x^*.

Mae'r anhafaledd canlynol yn disgrifio cyflymder y cydgyfeiriad:

$d(x^*, x_n) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0)$ .

Yn gyfystyr, mae

$d(x^*, x_{n+1}) \leq \frac{q}{1-q} d(x_{n+1},x_n)$

$d(x^*, x_{n+1}) \leq q d(x_n,x^*)$ .

Fe gelwir y q lleiaf posib o'r fath yn gysonyn Lipschitz.

Noder fod y gofyniad fod d(Tx, Ty) < d(x, y) ar gyfer x ac y yn anhafal, yn annigonol i sicrhau bodolaeth pwynt arhosol, fel ddengys y ffwythiant T : [1,∞) → [1,∞) gyda T(x) = x + 1/x, sydd heb bwynt arhosol. Fodd bynnag, os y mae'r gofod X yn gryno, yna mae'r gofyniad gwanach hwn yn ddigonol ar gyfer canlyniadau'r theorem.

Wrth ddefnyddio'r theorem yn ymarferol, y darn anoddaf yn aml yw i ddiffinio'r ffwythiant X fel fod T yn mapio elfennau o X i X, hynny yw, fod Tx pob tro'n elfen o X.

Mae'r erthygl hon yn cynnwys term neu dermau sydd efallai wedi eu bathu'n newydd sbon: pwynt arhosol, gofod cyflawn, gofod cryno o'r Saesneg "fixed point, complete space, compact space". Gallwch helpu trwy safoni'r termau.